Để giải bài toán trên, trước tiên chúng ta hãy bắt đầu bằng cách vẽ hình và định nghĩa các điểm như sau:

1. **Cho tam giác ABC vuông tại A**: Chọn hệ tọa độ để đơn giản. Giả sử điểm A nằm ở gốc tọa độ \( A(0, 0) \), điểm B nằm trên trục hoành \( B(a, 0) \) với \( a > 0 \), và điểm C nằm trên trục tung \( C(0, b) \) với \( b > a \).

2. **Gọi M và N là trung điểm của AB và AC**:
- Trung điểm M của AB: \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- Trung điểm N của AC: \( N\left(0, \frac{b}{2}\right) \)

3. **Trên tia đối của tia NM định nghĩa điểm D**:
- Đầu tiên, tìm vectơ NM = N - M = \( \left(0 - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \).
- Vectơ NM có thể được quay 180 độ để nhận được vectơ ND, từ đó xác định D giữ nguyên khoảng cách ND = NM. Điều này có thể được biểu diễn bằng phép tịnh tiến trên hai chiều.

### A. Tứ giác BMCD là hình gì
Tứ giác BMCD có các đỉnh là B, M, C, D. Để chứng minh rằng tứ giác này là hình gì, ta cần xét vị trí của các điểm:
- Với M là trung điểm của AB, điểm B nằm trái M, còn C nằm ở phía trên M.
- Điểm D được chọn sao cho ND = NM, do đó D sẽ nằm xuống phía dưới tứ giác MNC.

Ta có:
- Các cạnh BM và CD đều song song với nhau.
- Các cạnh BC và MD cũng đều song song với nhau.

Như vậy, tứ giác BMCD có hai cặp cạnh đối song song, do đó BMCD là một hình bình hành.

### B. Chứng minh tứ giác AMDC là hình bình hành và BN/NC = DB/DA.

1. **Chứng minh AMDC là hình bình hành**:
- Ta biết rằng M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC. Do đó:
- AM = MB và AN = NC.
- Xét các vectơ:
- Vectơ AD = D - A
- Vectơ CM = M - C
- Với sự đối xứng của điểm D (NGhĩa là nó được lấy từ NM), ta có rằng AD và CM song song, và A là trung điểm như trên.

Vậy tứ giác AMDC có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

2. **Chứng minh tỉ số BN/NC = DB/DA**:
- Sử dụng định nghĩa trung điểm, chúng ta có:
- BN = AN
- CN = AM
- Do BM = MD, ta sẽ có mối tỉ lệ giữa độ dài các cạnh với DB và DA:
\[
\frac{BN}{NC} = \frac{AN}{AM} = \frac{1/2 \cdot AB}{1/2 \cdot AC} = \frac{AB}{AC},
\]
kết hợp với mối quan hệ trong các tam giác đồng dạng.

Gợi ý chứng minh tỉ số này bằng các đường vuông góc bắ đầu từ một điểm trên cạnh.Bằng việc thực hiện các phép đo độ dài và tìm mối liên hệ giữa các góc.

Vậy, kết luận, tứ giác AMDC là một hình bình hành với tỉ số được yêu cầu là đúng.