Để chứng minh tam giác \( MBC \) là tam giác cân, ta sẽ sử dụng một số tính chất trong hình học.

### Bước 1: Thiết lập các điểm
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- \( M \) là điểm trên đường tròn, nơi tia phân giác của góc \( A \) cắt đường tròn.
- \( N \) là điểm cắt của tia phân giác bên ngoài tại đỉnh \( A \) với đường tròn.

### Bước 2: Sử dụng tính chất của tia phân giác
Tia phân giác \( AM \) chia góc \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau. Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{AC} = \frac{CM}{AB}
\]

### Bước 3: Xét các tam giác
Vì \( O \) là tâm đường tròn, nên:
- Tia \( OM \) là bán kính của đường tròn tại điểm \( M \).
- Tia \( ON \) cũng là bán kính của đường tròn tại điểm \( N \).

### Bước 4: Chứng minh tam giác MBC cân
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( MB = MC \):
- Nhận thấy rằng \( \angle AMB = \angle AMC \) (do \( M \) nằm trên đường tròn).
- Mặt khác, \( OB = OC \) (vì là bán kính đường tròn).

Từ \( OM \) là bán kính và \( \angle AMB = \angle AMC \), ta áp dụng định lý về góc phân giác, suy ra rằng:

\[
MB = MC
\]

### Bước 5: Ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta xem xét rằng \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng nối \( M \) và \( N \) (do tiên đề của tia phân giác). Vậy ta có thể kết luận rằng \( M, O, N \) thẳng hàng.

### Kết luận
Do đó, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( MBC \) là tam giác cân và ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.