Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 1. Chứng minh:

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
S = a^{2024} + b^{2023} + c^{2022} - ab - ac - bc < 1
\]

cho các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c \geq 1\), ta có thể sử dụng điều kiện \(a + b + c \geq 1\) để xây dựng bất đẳng thức.

**Bước 1: Xét các trường hợp đặc biệt**

Nếu \(a + b + c = 1\), ta có thể thay \(c = 1 - a - b\) và thao tác với biểu thức \(S\).

**Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^{2024} + b^{2023} + c^{2022})(1 + 1 + 1) \geq (a^{1012} + b^{1011} + c^{1010})^2
\]

Vì vậy:

\[
3(a^{2024} + b^{2023} + c^{2022}) \geq (a^{1012} + b^{1011} + c^{1010})^2
\]

**Bước 3: Xét các giá trị của \(S\)**

Từ điều kiện \(a + b + c \geq 1\), nếu \(a, b, c\) đều nhỏ hơn 1, thì \(a^{2024}, b^{2023}, c^{2022}\) đều sẽ nhỏ hơn \(a, b, c\). Điều này dẫn đến:

\[
S = a^{2024} + b^{2023} + c^{2022} < a + b + c \leq 1
\]

**Bước 4: Kết luận**

Từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng:

\[
S < 1
\]

với điều kiện \(a + b + c \geq 1\). Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.