Để giải bài toán, ta cần thực hiện hai yêu cầu đã cho:

1. **Chứng minh tứ giác AQBM là hình thoi**.

- Để chứng minh tứ giác AQBM là hình thoi, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và một trong các góc đối diện là 90 độ.

- Ta có:
- AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC tại A, vậy M là trung điểm của BC.
- P là trung điểm của AB, và Q là điểm đối xứng của M qua P.

- Xem xét:
- AB = 10 cm, AC = 6 cm.
- Ta có BM = MC (vì M là trung điểm của BC).
- AQ = AP (vì P là trung điểm của AB).
- Để chứng minh AQ = QB, ta sử dụng tính chất của đường trung tuyến.

- Từ đó, ta kết luận rằng AQ = QB và AM = MB.

- Do đó, tứ giác AQBM có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên AQBM là hình thoi.

2. **Tính diện tích tam giác ABC**.

- Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC
\]
- Thay số vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \text{ cm}^2
\]

Kết quả cuối cùng:
- Tứ giác AQBM là hình thoi.
- Diện tích tam giác ABC là 30 cm².