Để tính tổng \( A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n \cdot (n+1) \), chúng ta có thể viết lại mỗi hạng tử trong tổng này như sau:

\[
k \cdot (k + 1) = k^2 + k
\]

Do đó, tổng \( A \) có thể được viết lại như sau:

\[
A = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k
\]

Chúng ta có công thức cho tổng các số tự nhiên và tổng bình phương của các số tự nhiên:

1. Tổng các số tự nhiên từ 1 đến \( n \):

\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

2. Tổng bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến \( n \):

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]

Bây giờ, thay vào công thức tổng \( A \):

\[
A = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Để cộng hai biểu thức này lại, chúng ta cần đưa về cùng mẫu số. Mẫu số chung của \( 6 \) và \( 2 \) là \( 6 \):

\[
\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{3n(n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 1 + 3)}{6}
\]

Sắp xếp lại biểu thức trong ngoặc:

\[
A = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6} = \frac{n(n + 1)(2(n + 2))}{6}
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này:

\[
A = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}
\]

Vậy tổng \( A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n \cdot (n + 1) \) bằng:

\[
\boxed{\frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}}
\]