Tính B -1²+2²-3²+4²-...+(-1)^n. n²

Chúng ta sẽ tính toán biểu thức \( B = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - \ldots + (-1)^n n^2 \).

Tùy thuộc vào giá trị của \( n \), chúng ta có hai trường hợp: \( n \) chẵn và \( n \) lẻ.

### Trường hợp 1: \( n \) chẵn
Giả sử \( n = 2k \) với \( k \) là số nguyên dương. Lúc này, \( B \) sẽ có dạng:

\[
B = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + \ldots - (2k-1)^2 + (2k)^2
\]

Chúng ta có từng cặp số hạng:

\[
B = (-1^2 + 2^2) + (-3^2 + 4^2) + \ldots + (-(2k-1)^2 + (2k)^2)
\]

Mỗi cặp sẽ là:

\[
-(2i-1)^2 + (2i)^2 = (2i)^2 - (2i-1)^2 = 4i^2 - (4i^2 - 4i + 1) = 4i - 1
\]

Vì vậy, số hạng \( B \) có thể viết lại là tổng của các số hạng:

\[
B = (4 \cdot 1 - 1) + (4 \cdot 2 - 1) + \ldots + (4k - 1)
\]

Bây giờ, chúng ta tính tổng này:

\[
B = \sum_{i=1}^{k} (4i - 1) = 4\sum_{i=1}^{k} i - k = 4 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - k = 2k(k+1) - k = 2k^2 + k
\]

Thay thế \( k = \frac{n}{2} \):

\[
B = 2\left(\frac{n}{2}\right)^2 + \frac{n}{2} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}
\]

### Trường hợp 2: \( n \) lẻ
Giả sử \( n = 2k + 1 \). Lúc này \( B \) sẽ có dạng:

\[
B = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - \ldots - (2k-1)^2 + (2k)^2 - (2k + 1)^2
\]

Tương tự như trên, chúng ta có:

\[
B = (-1^2 + 2^2) + (-3^2 + 4^2) + \ldots + (-(2k-1)^2 + (2k)^2) - (2k + 1)^2
\]

Phần tổng \( (-1^2 + 2^2) + (-3^2 + 4^2) + \ldots + (-(2k-1)^2 + (2k)^2) \) đã được tính trong trường hợp chẵn. Vì vậy:

\[
B = 2k^2 + k - (2k + 1)^2 = 2k^2 + k - (4k^2 + 4k + 1)
\]

Tính:

\[
B = 2k^2 + k - 4k^2 - 4k - 1 = -2k^2 - 3k - 1
\]

Thay thế \( k = \frac{n-1}{2} \):

\[
B = -2\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{n-1}{2}\right) - 1 = -\frac{(n-1)^2}{2} - \frac{3(n-1)}{2} - 1
\]

Tính toán:

\[
= -\frac{n^2 - 2n + 1 + 3n - 3 - 2}{2} = -\frac{n^2 + n - 4}{2} = -\frac{n^2 + n}{2} + 2
\]

### Kết luận
Tóm lại, ta có:

- Nếu \( n \) chẵn, \( B = \frac{n(n+1)}{2} \)
- Nếu \( n \) lẻ, \( B = -\frac{n(n+1)}{2} + 2 \)

Hy vọng cách giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính \( B \)!