Chứng minh một tập con có 6 phần tử của tập A

Để chứng minh rằng một tập con có 6 phần tử của tập \( A = \{1, 2, \ldots, 10\} \) luôn chứa hai phần tử \( (a, b) \) sao cho \( a^2 + b^2 \) là số nguyên tố, chúng ta sẽ sử dụng hướng tiếp cận chia 10 số về các nhóm.

### Bước 1: Chia các số thành 5 nhóm
Chúng ta chia các số từ 1 đến 10 thành 5 nhóm như sau:

- Nhóm 1: \( (1, 10) \)
- Nhóm 2: \( (2, 7) \)
- Nhóm 3: \( (3, 8) \)
- Nhóm 4: \( (4, 9) \)
- Nhóm 5: \( (5, 6) \)

### Bước 2: Chọn 6 phần tử
Theo nguyên tắc pigeonhole (nguyên lý chơi nhốt), nếu chúng ta chọn 6 phần tử từ 10 số, chúng ta chắc chắn sẽ chọn ít nhất 2 số từ cùng một nhóm.

### Bước 3: Xem xét các cặp trong cùng một nhóm
Bây giờ, ta sẽ xem xét các cặp số trong cùng một nhóm và tính giá trị \( a^2 + b^2 \):

1. Nhóm \( (1, 10) \):
- \( 1^2 + 10^2 = 1 + 100 = 101 \) (nguyên tố)

2. Nhóm \( (2, 7) \):
- \( 2^2 + 7^2 = 4 + 49 = 53 \) (nguyên tố)

3. Nhóm \( (3, 8) \):
- \( 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73 \) (nguyên tố)

4. Nhóm \( (4, 9) \):
- \( 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \) (nguyên tố)

5. Nhóm \( (5, 6) \):
- \( 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \) (nguyên tố)

### Kết luận
Chúng ta thấy rằng ở mỗi nhóm, bất kỳ cặp số nào cũng tạo ra một số nguyên tố khi tính \( a^2 + b^2 \). Như vậy, bằng cách chọn bất kỳ 6 số từ tập \( A \), chúng ta sẽ luôn có ít nhất 2 số từ một nhóm, và \( a^2 + b^2 \) sẽ luôn là số nguyên tố.

Vì vậy, ta đã chứng minh rằng một tập con có 6 phần tử của tập \( A \) luôn chứa hai phần tử \( (a, b) \) sao cho \( a^2 + b^2 \) là số nguyên tố.