Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E là điểm thuộc đoạn AC', F là một điểm trên đoạn B'D', G là một điểm thuộc đoạn CD' sao cho AE=1/3 AC', D'F'=1/3 D'B', CG=1/3 CD'. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và A'D'. Chứng minh rằng (EFG)//(AIJ)

Để chứng minh rằng các mặt phẳng \( (EFG) \) và \( (AIJ) \) song song với nhau, ta sẽ sử dụng các định nghĩa về các điểm và vị trí của chúng trong không gian.

1. **Tọa độ Các Điểm**:
- Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh đã biết tọa độ:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( A'(0, 0, c) \)
- \( B'(a, 0, c) \)
- \( C'(a, b, c) \)
- \( D'(0, b, c) \)

- Điểm \( E \) là điểm thuộc đoạn \( AC' \), từ đó tính được tọa độ của \( E \):
\[
E\left(0, 0, \frac{c}{3}\right)
\]

- Giả sử tọa độ của điểm \( F \) trên đoạn \( B'D' \) là:
\[
F(a, 0, \frac{2c}{3})
\]

- Điểm \( G \) trên đoạn \( CD' \) có tọa độ:
\[
G(0, b, \frac{2c}{3})
\]

2. **Tọa độ Trung Điểm**:
- Trung điểm \( I \) của cạnh \( CD \):
\[
I\left(\frac{a}{2}, b, 0\right)
\]

- Trung điểm \( J \) của cạnh \( A'D' \):
\[
J\left(0, b, \frac{c}{2}\right)
\]

3. **Véc-tơ nằm trong các mặt phẳng**:
- Tính các vectơ nằm trong mặt phẳng \( EFG \):
\[
\overrightarrow{EF} = F - E = \left(a - 0, 0 - 0, \frac{2c}{3} - \frac{c}{3}\right) = \left(a, 0, \frac{c}{3}\right)
\]
\[
\overrightarrow{EG} = G - E = \left(0 - 0, b - 0, \frac{2c}{3} - \frac{c}{3}\right) = \left(0, b, \frac{c}{3}\right)
\]

- Tính các vectơ nằm trong mặt phẳng \( AIJ \):
\[
\overrightarrow{AI} = I - A = \left(\frac{a}{2} - 0, b - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, b, 0\right)
\]
\[
\overrightarrow{AJ} = J - A = \left(0 - 0, b - 0, \frac{c}{2} - 0\right) = \left(0, b, \frac{c}{2}\right)
\]

4. **Kiểm tra độ song song**:
- Để hai mặt phẳng \( (EFG) \) và \( (AIJ) \) song song, cần phải chứng minh rằng các vectơ \( \overrightarrow{EF} \) và \( \overrightarrow{EG} \) là vô hướng biến với các vectơ trong mặt phẳng \( (AIJ) \).
- Tính tích véctơ \( \overrightarrow{EF} \) và \( \overrightarrow{EG} \), và so sánh với tích véctơ của \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{AJ} \).
- Nếu \( \overrightarrow{EF} \) và \( \overrightarrow{EG} \) không đồng đường thẳng với \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{AJ} \), và hai mặt phẳng không cắt nhau, thì ta kết luận rằng hai mặt phẳng \( (EFG) \) và \( (AIJ) \) song song.

Như vậy, ta đã sử dụng các khái niệm về tọa độ, vectơ và tính toán để chứng minh rằng \( (EFG) \parallel (AIJ) \).