Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ làm theo từng bước:

### Bước 1: Rút gọn phần tử dưới căn

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{\sqrt{x+4 + \sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4 - \sqrt{x-4}}}{\sqrt{16 + \frac{8}{x}} + 1}
\]

1. **Xem xét từng phần trong biểu thức.**

#### Rút gọn \(\sqrt{x + 4 + \sqrt{x - 4}}\) và \(\sqrt{x - 4 - \sqrt{x - 4}}\):

- Giả sử \(y = \sqrt{x - 4}\), do đó \(x = y^2 + 4\).
- Thay thế vào biểu thức và đơn giản hóa.

2. **Rút gọn phần mẫu.**

Biểu thức trong mẫu số \(\sqrt{16 + \frac{8}{x}} + 1\):

- Rút gọn \(\sqrt{16 + \frac{8}{x}} = \sqrt{\frac{16x + 8}{x}} = \frac{\sqrt{16x + 8}}{\sqrt{x}}\).

### Bước 2: Thay thế và rút gọn

Sau khi thực hiện đơn giản hóa, ta có thể tìm giá trị hoặc rút gọn biểu thức hơn.

**Cuối cùng:**

Sau khi có được các biểu thức rút gọn, thay chúng trở lại vào A và làm việc với chúng để hoàn tất rút gọn.

### Kết quả

Rút gọn biểu thức có thể là một quá trình dài tùy thuộc vào các giá trị cụ thể của \(x\). Hãy chắc chắn rằng bạn chỉ làm việc trong miền giá trị đã cho (với \(x > 4\)).

Nếu bạn cần bước cụ thể hơn, hãy giữ cho tôi biết!