Để giải các bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước một cho mỗi bất phương trình. Dưới đây là cách giải cho từng bài:

### 1) \( \frac{x+1}{3} + \frac{x}{2} \geq 4 \)

**Bước 1**: Tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 3 và 2, đó là 6.

**Bước 2**: Nhân cả hai vế với 6:
\[
6 \left( \frac{x+1}{3} + \frac{x}{2} \right) \geq 6 \cdot 4
\]
\[
2(x+1) + 3x \geq 24
\]
\[
2x + 2 + 3x \geq 24
\]
\[
5x + 2 \geq 24
\]
\[
5x \geq 22
\]
\[
x \geq \frac{22}{5}
\]

### 2) \( \frac{4}{8}(x+4) - \frac{x-5}{2} \)

**Bước 1**: Tìm BCNN của 8 và 2 là 8.

**Bước 2**: Nhân cả hai vế với 8:
\[
8 \cdot \frac{4(x+4)}{8} - 8 \cdot \frac{x-5}{2}
\]
\[
4(x+4) - 4(x-5) = 0
\]
\[
4x + 16 - 4x + 20 = 0
\]
\[
36 = 0 \quad (Sai)
\]

Bài này không có nghiệm.

### 3) \( \frac{7-2x}{4} \geq x - 1 \)

**Bước 1**: Nhân cả hai vế với 4:
\[
7 - 2x \geq 4(x - 1)
\]
\[
7 - 2x \geq 4x - 4
\]
\[
7 + 4 \geq 4x + 2x
\]
\[
11 \geq 6x
\]
\[
x \leq \frac{11}{6}
\]

### 4) \( \frac{3-2x}{3} \leq \frac{5x}{9} + 2 \)

**Bước 1**: Nhân cả hai vế với 9:
\[
9 \cdot \frac{3-2x}{3} \leq 5x + 18
\]
\[
3(3-2x) \leq 5x + 18
\]
\[
9 - 6x \leq 5x + 18
\]
\[
9 - 18 \leq 5x + 6x
\]
\[
-9 \leq 11x
\]
\[
x \geq -\frac{9}{11}
\]

### 5) \( \frac{-x+3}{6} \leq \frac{x-2}{3} \)

**Bước 1**: Nhân cả hai vế với 6:
\[
-x + 3 \leq 2(x - 2)
\]
\[
-x + 3 \leq 2x - 4
\]
\[
3 + 4 \leq 2x + x
\]
\[
7 \leq 3x
\]
\[
x \geq \frac{7}{3}
\]

### 6) \( \frac{3x-1}{3} \geq \frac{2x-3}{4} \)

**Bước 1**: Nhân cả hai vế với 12:
\[
12 \cdot \frac{3x - 1}{3} \geq 12 \cdot \frac{2x - 3}{4}
\]
\[
4(3x - 1) \geq 3(2x - 3)
\]
\[
12x - 4 \geq 6x - 9
\]
\[
12x - 6x \geq -9 + 4
\]
\[
6x \geq -5
\]
\[
x \geq -\frac{5}{6}
\]

### Kết quả tổng hợp:

1) \( x \geq \frac{22}{5} \)
2) Không có nghiệm
3) \( x \leq \frac{11}{6} \)
4) \( x \geq -\frac{9}{11} \)
5) \( x \geq \frac{7}{3} \)
6) \( x \geq -\frac{5}{6} \)