Để chứng minh các tính chất của tam giác ABC đều là tam giác cân, ta sẽ tiến hành phân tích từng bước:

### a. Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC
Chúng ta có:

- Tam giác ABC là tam giác cân, với AB = AC.
- M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Ta sẽ chứng minh rằng AMB = AMC (tức là hai tam giác AMB và AMC là bằng nhau).

1. **Cạnh chung:** AM là cạnh chung của hai tam giác AMB và AMC.
2. **Cạnh bằng:** AB = AC theo giả thiết.
3. **Cạnh đối xứng:** BM = CM (vì M là trung điểm của BC).

Áp dụng tiêu chuẩn bằng nhau của tam giác (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:

\[ \Delta AMB \cong \Delta AMC \]

Từ đó, suy ra lượng giác, ta có:

\[ \angle AMB = \angle AMC \]

### b. Chứng minh AM là đường trung trực đoạn thẳng HK
Để chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng HK, ta cần chứng minh rằng AM vuông góc với HK và M là trung điểm của HK.

1. Vẽ MH vuông góc với AB tại H, và HK vuông góc với AC tại K. Theo đó, ta có:
- MH ⊥ AB
- HK ⊥ AC

2. Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = CM.

3. Do \(\Delta AMB \cong \Delta AMC\), theo các tính chất của các tam giác, suy ra:

- \(\angle AMB = \angle AMC\) và hai góc này là bằng nhau (tính chất của các tam giác bằng nhau).
- Điều này có nghĩa rằng AM phải vuông góc với đoạn thẳng HK vì nó phân chia đoạn thẳng HK thành hai phần bằng nhau tại M.

Từ hai bước trên, ta có:

- AM vuông góc với HK, và M là trung điểm của HK.

Vậy ta có thể kết luận rằng:

\[ AM \text{ là đường trung trực của đoạn thẳng } HK \]

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công các điểm mà đề bài yêu cầu:
1. Hai tam giác AMB và AMC bằng nhau.
2. AM là đường trung trực của đoạn thẳng HK.