Tìm x để P nguyên: √x-2/√x

Để giải bài toán, trước tiên ta sẽ đơn giản hóa biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \).

Ta có thể viết lại \( P \) như sau:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}
\]

Để \( P \) là số nguyên, \( \frac{2}{\sqrt{x}} \) phải là số hữu tỷ. Điều này đồng nghĩa với việc \( \sqrt{x} \) phải là một số chia hết cho 2, tức là \( \sqrt{x} = 2k \) với \( k \) là số nguyên. Do đó, ta có:

\[
\sqrt{x} = 2k \implies x = (2k)^2 = 4k^2
\]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = 1 - \frac{2}{\sqrt{4k^2}} = 1 - \frac{2}{2k} = 1 - \frac{1}{k}
\]

Để \( P \) là số nguyên, \( \frac{1}{k} \) cũng phải là số nguyên, nghĩa là \( k \) phải là 1 hoặc -1.

1. Nếu \( k = 1 \):
- Ta có:
\[
x = 4 \cdot 1^2 = 4 \quad \text{và} \quad P = 1 - \frac{1}{1} = 0
\]

2. Nếu \( k = -1 \):
- Ta có:
\[
x = 4 \cdot (-1)^2 = 4 \quad \text{và} \quad P = 1 - \frac{1}{-1} = 2
\]

Để xem xét các trường hợp khác, ta thấy:

- Nếu \( k \) là các số nguyên khác thì \( k = \pm 2, \pm 3, \ldots \), ta sẽ có các giá trị khác nhau cho \( P \), đây là một loạt số nguyên khác.

Từ đó, \( k = n \) với \( n \) là số nguyên dương thì sẽ thu được các giá trị khác nhau cho \( P \) như \( 1 - \frac{1}{n} \). Đây chỉ có nghĩa là \( n = 1 \) thì \( P = 0\), còn lại sẽ tạo ra các giá trị khác cho \( P\) phụ thuộc vào \( n \).

Tóm lại, các giá trị của \( x \) mà \( P \) là số nguyên là:
\[
x = 4k^2 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Hay được viết lại là \( x = 0, 4, 16, 36, \ldots \) cho các \( k = 0, 1, 2, 3, \ldots \).

Kết luận:
**Các giá trị của \( x \) mà \( P \) nguyên là \( x = 4k^2 \) với \( k \) là số nguyên, tức là \( x = 0, 4, 16, 36, \ldots \)**.