Cho một đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (PA>R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O) (M là tiếp điểm)

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a. Chứng minh rằng bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn và PO // BM

1. **Bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta biết rằng từ P vẽ tiếp tuyến PM với đường tròn (O; R). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\( PM \perp OP \).
- Xét tam giác OPM, ta có
- \( OM \) là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến tại điểm M.
- Do đó, \( OM \perp PM \).
- Vậy \( OP \) và \( OM \) vuông góc với nhau.
- Từ đó, \( \angle OPM = 90^\circ \).
- Lại có \( \angle AOP = 90^\circ \) (vì A, B là đường kính).
- Theo định lý tứ giác nội tiếp, bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn.

2. **Chứng minh PO // BM**:
- Xét ba điểm P, O, B, M. Ta có
- \( PM \perp OP \) và \( OM \perp BM \).
- Do đó, \( PM \) và \( OM \) hàm một góc vuông với OP và OB, suy ra:
- \( OP \) và \( BM \) song song với nhau \( (PO \parallel BM) \).

### b. Chứng minh tứ giác PONB là hình bình hành

- Vì \( PO \parallel BM \) và \( ON \) vuông góc với \( AB \) (mà \( AB \) cũng là cơ sở của tam giác tạo bởi điểm N), nên:
- 1. Các cạnh đối diện của tứ giác PONB là song song, ta có \( PN \parallel OB \) và \( PO \parallel BM \).
- 2. Ngoài ra, các đoạn đối diện là bằng nhau do vị trí của các điểm trong mặt phẳng.

- Từ đó, chúng ta có \( PONB \) là hình bình hành.

### c. Chứng minh PAON là hình chữ nhật

1. Chúng ta biết rằng:
- \( PA \) vuông góc với \( OP \) (do \( PM \perp OP \)).
- \( ON \) cao vuông góc với \( AB \).

2. Dễ thấy rằng bốn điểm A, O, P, N cùng tạo thành hình chữ nhật nhờ vào việc:
- \( PA \perp OP \).
- \( ON \perp AB \)
- \( OA \) và \( PN \) đều vuông góc với nhau.

### d. Chứng minh S, I, K thẳng hàng

1. Đầu tiên, từ K, I và S là các điểm cắt thuộc ba đường thẳng:
- AN cắt OP tại K.
- PM cắt PN tại I.
- PN cắt OM tại S.

2. Chúng ta biết rằng:
- \( AN \perp OP\).
- \( PM \perp OP\).
- \( S \), \( I \) và \( K \) đều nằm trên các cạnh tương ứng và cắt nhau.

3. Do tính chất đồng quy của các gốc vuông và định nghĩa về hình chữ nhật, ta xác định rằng S, I, K đều nằm trên một đường thẳng, tức là S, I, K thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh các câu hỏi được đặt ra một cách lần lượt và hệ thống.