Để tính số đo góc \( \angle CDY \), ta sử dụng thông tin đã cho trong bài toán.

1. Ta có \( AX \parallel DY \).
2. Vì \( AX \parallel DY \) và \( AC \) cắt hai đường thẳng này, ta có các cặp góc đồng vị:

- \( \angle DAC = 30^\circ \) (góc đồng vị với \( \angle ACY \))
- \( \angle ACD = 90^\circ \)

3. Từ đó, ta suy ra:

- \( \angle DCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

4. Khép góc tứ giác \( ADCY \), tổng các góc trong tứ giác là \( 360^\circ \):

\[
\angle DAC + \angle ACD + \angle CDY + \angle DYA = 360^\circ
\]

5. Thay các giá trị đã biết vào:

- \( 30^\circ + 90^\circ + \angle CDY + 60^\circ = 360^\circ \)

6. Tính số đo góc \( CDY \):

\[
\angle CDY + 180^\circ = 360^\circ
\]

\[
\angle CDY = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ
\]

Vậy số đo góc \( \angle CDY \) là \( 180^\circ \).