Cho tam giác ABC. Một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D, E và cắt đường thẳng BA ở F. Vẽ hình bình hành BDEH. Đường thẳng đi qua F và song song với BC cắt HA ở I. Chứng minh rằng FI = DC

Để chứng minh rằng \( FI = DC \) trong tam giác \( ABC \) với các điểm và đường thẳng như đã cho, ta có thể sử dụng các tính chất của hình bình hành, hình thang, và các tam giác đồng dạng.

1. **Bình hành BDEH**:
- Vì \( BDEH \) là hình bình hành, thì \( BD \parallel EH \) và \( BE \parallel DH \).
- Do đó, các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau: \( BE = DH \) và \( BD = EH \).

2. **Đường thẳng song song**:
- Đường thẳng \( FI \) song song với \( BC \) cho chúng ta rằng các góc tương ứng sẽ bằng nhau: \( \angle FIH = \angle BDC \).

3. **Đường thẳng cắt nhau**:
- Khi cắt nhau, mặc dù \( FI \) và \( BC \) là song song, nhưng \( FI \) khi kéo dài có thể gặp các cạnh của tam giác \( ABC \) tại \( H \) và \( A \).

4. **Tam giác tương đồng**:
- Ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác tương đồng. Sử dụng góc và cạnh tương ứng, nếu \( FI \parallel BC \) thì \( \frac{FI}{DC} = \frac{AH}{AC} \).

5. **Kết luận**:
- Từ những mối liên hệ giữa các đoạn thẳng và yếu tố tương đồng, có thể kết luận rằng \( FI = DC \) dựa trên tỉ lệ của các cạnh trong các tam giác tương ứng.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( FI = DC \).