Để giải bài toán, ta bắt đầu với hình tam giác ABC, có AB = 6 cm và các trung tuyến AM và BN cắt nhau tại điểm G.

### a) Tính độ dài MN và DE

Đầu tiên, ta sẽ tính độ dài của MN và DE.

1. **Tính MN**:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BC. Tính độ dài MN dựa trên định lý trung tuyến:

\[
MN = \frac{1}{2} \cdot AB
\]

Thay vào giá trị AB:

\[
MN = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ cm}
\]

2. **Tính DE**:
D là trung điểm của AG, E là trung điểm của BG. Do G là trọng tâm của tam giác, ta có:

\[
DG = \frac{1}{3} AG \quad \text{và} \quad EG = \frac{1}{3} BG
\]

Vậy DE mà D và E là trig điểm trên các đoạn AG và BG thì:

\[
DE = DG + EG = \frac{1}{3} AG + \frac{1}{3} BG = \frac{1}{3} (AG + BG)
\]

Theo định lý trung tuyến, có:

\[
AG = \frac{2}{3} AM \quad \text{và} \quad BG = \frac{2}{3} BN
\]

Từ đó, tính DE:

\[
DE = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN \right) = \frac{2}{9} (AM + BN)
\]

Tuy nhiên, để tính DE một cách cụ thể hơn, ta cần biết độ dài của các trung tuyến AM và BN, điều này phụ thuộc vào độ dài của các cạnh còn lại của tam giác.

### b) Các tứ giác ABMN, ABED và DEMN là hình gì? Vì sao?

1. **Tứ giác ABMN**:
Tứ giác ABMN là hình thoi. Dựa trên tính đối xứng của các điểm giữa, có điểm G là trọng tâm.

2. **Tứ giác ABED**:
Tứ giác ABED là hình chữ nhật. Vì DE là trung đoạn, nối giữa các trung điểm của AG và BG.

3. **Tứ giác DEMN**:
Tùy thuộc vào hình dáng của tam giác ABC, tứ giác DEMN có thể là hình chữ nhật hoặc hình bình hành. Nếu AG và BG vuông góc với MN thì DEMN sẽ là hình chữ nhật.

### c) Điều kiện để DEMN là hình chữ nhật và tính độ dài trung tuyến CF

Để DEMN là hình chữ nhật, điều kiện cần là AG vuông góc với BG, tức là trọng tâm G phải chia cạnh AB thành những đoạn bằng nhau và cắt góc tại M và N một cách cân xứng.

Tính độ dài trung tuyến CF hạ từ đỉnh C của tam giác ABC, theo định lý trung tuyến cho:

\[
CF = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}
\]

Điều này cần tính cụ thể trong trường hợp có thông số về AC và BC.

Tóm lại, chúng ta cần thêm thông tin về các cạnh BC và AC để có thể giải quyết các phần bài tập này một cách chính xác hơn.