Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ phân tích đồ thị hàm số và tìm các tham số \( a \), \( b \) và \( c \) từ hình vẽ.

1. **Đồ thị:** Nhìn vào hình vẽ, chúng ta có thể thấy rằng đồ thị có một cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 4 \), và có hai giao điểm với trục hoành (x-axis) tại \( x = -2 \) và \( x = 1 \).

2. **Giá trị tại cực đại:** Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = -0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c = 4.
\]
Vậy \( c = 4 \).

3. **Giao điểm với trục hoành:** Giao điểm với trục hoành xảy ra tại \( x = -2 \) và \( x = 1 \).
Ta có các phương trình:
\[
-(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \Rightarrow 8 + 4a - 2b + 4 = 0 \Rightarrow 4a - 2b + 12 = 0.
\]
\[
-(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 0 \Rightarrow -1 + a + b + 4 = 0 \Rightarrow a + b + 3 = 0.
\]

4. **Hệ phương trình:** Chúng ta có hai phương trình từ trên:
\[
4a - 2b + 12 = 0 \quad (1)
\]
\[
a + b + 3 = 0 \quad (2)
\]

5. **Giải hệ phương trình:** Từ phương trình (2), ta có:
\[
b = -a - 3.
\]
Thay vào phương trình (1):
\[
4a - 2(-a - 3) + 12 = 0 \Rightarrow 4a + 2a + 6 + 12 = 0 \Rightarrow 6a + 18 = 0 \Rightarrow a = -3.
\]
Thay giá trị \( a \) vào (2):
\[
-3 + b + 3 = 0 \Rightarrow b = 0.
\]

6. **Giá trị các tham số:** Chúng ta có:
- \( a = -3 \)
- \( b = 0 \)
- \( c = 4 \)

7. **Tính \( T = a + 2b + 3c \):**
\[
T = -3 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = -3 + 0 + 12 = 9.
\]

Kết luận: Giá trị biểu thức \( T \) là \( 9 \).