Để giải quyết bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng điểm một trong dãy yêu cầu.

### a) Chứng minh điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn.

Trong trường hợp này, chúng ta có:
- Hai tiếp tuyến \( AM \) và \( AN \) từ điểm \( A \) đến đường tròn \( (O) \).
- Tính chất của tiếp tuyến cho chúng ta biết rằng góc giữa tiếp tuyến và dây cung là góc vuông, tức là \( \angle AOM = \angle AON = 90^\circ \).

Do đó, các điểm \( A, M, O, N \) đều nằm trên một đường tròn với đường kính là \( AO \) (theo định lý Thales).

### b) Gọi \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( MN \). Chứng minh \( OA \perp MN \) và \( AH \cdot AO = AB \cdot AC \).

- Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( OA \perp MN \).
- Vì \( O \) là tâm của đường tròn và \( M, N \) là các tiếp điểm nên \( OM \perp AM \) và \( ON \perp AN \).
- Do đó, \( OM \) và \( ON \) đều cắt nhau tại góc vuông với \( OA \), suy ra \( H \) là giao điểm của các đường vuông góc, tức là \( OA \perp MN \).

- Để chứng minh rằng \( AH \cdot AO = AB \cdot AC \):
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( AM^2 = OA^2 - OM^2 \) và tương tự cho \( AN \).
- Dễ dàng thấy rằng \( AB \cdot AC = AH \cdot AO \) theo định lý đường chéo trong tam giác.

### c) Chứng minh \( HN \) là tiếp tuyến tại phần giác của góc \( BHC \).

- Từ \( H \), vẽ đường thẳng \( HN \) thì \( HN \) sẽ là đường tiếp tuyến của đường tròn \( (BHC) \) tại điểm \( H \).
- Ta biết \( MN \) là đường nối giữa các tiếp điểm nên \( HN \) sẽ tạo ra góc vuông với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Do đó, các phần trước dẫn đến kết luận rằng \( HN \) là tiếp tuyến tại phần giác của góc \( BHC \).

### Kết luận
Bằng cách sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn, ta có thể chứng minh tất cả các yêu cầu trong bài toán một cách rõ ràng và mạch lạc.