Cho đường tròn (O; R), từ điểm C nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tyến tiếp CI; CF của đường tròn (O) (I; F là cá tiếp điểm)

Để chứng minh rằng các điểm \( C \), \( I \), \( O \), và \( F \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý phương trình đồng tâm.

Chúng ta bắt đầu bằng cách vẽ đường tròn \((O; R)\) và các tiếp tuyến \( CI \) và \( CF \) từ điểm \( C \) đến đường tròn này, với \( I \) và \( F \) là các tiếp điểm.

### Bước 1: Tính độ dài \( CI \) và \( CF \)

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( CI = CF \) (độ dài các tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn luôn bằng nhau).

### Bước 2: Sử dụng tam giác và góc

Ta có tam giác \( CIO \) và tam giác \( CFO \):
- Ta nhận thấy rằng \( CI \perp OI \) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).

### Bước 3: Các góc liên quan

Ta có:
- Góc \( CIO = 90^\circ \)
- Góc \( CFO = 90^\circ \)

### Bước 4: Xét góc \( CIF \)

Ta xét bốn điểm \( C, I, O, F \):
- Xét tam giác \( CIF \):
- Ta biết rằng:
\[
\angle CIF = \angle CIO + \angle CFO
\]
- Bởi vì \( CI = CF \), nên \( \angle CIF \) là góc ở đỉnh \( C \) của tam giác \( CIF \).

### Bước 5: Hình thành tam giác

Do đó, từ các tính chất hình học trên, ta có:
- \( CI + IF + CF = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác là 180 độ)

### Kết luận

Nhờ sử dụng các góc vuông và tính chất tiếp tuyến, ta có thể thấy rằng bốn điểm \( C, I, O, F \) đều nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn đường kính \( CI \) (hoặc \( CF \)). Điều này hoàn tất chứng minh rằng điểm \( C \), \( I \), \( O \), \( F \) cùng thuộc một đường tròn mà đường kính là đoạn \( CI \) (hoặc \( CF \)).

Vậy ta đã chứng minh thành công rằng điểm \( C, I, O, F \) đồng thuộc một đường tròn.