Để giải bài toán này, chúng ta có tam giác \(ABC\) với điều kiện \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle AMC \)

1. **Thông tin đã cho:**
- \(AB = AC\) (cạnh tương ứng).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\).
- Cạnh chung: \(AM = AM\).

2. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng:**
- Theo bất đẳng thức cạnh-góc, ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

### b) Từ \(M\) kẻ đoạn thẳng \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\) và \(CF\) là đường vuông góc với \(AB\)

1. \(ME \perp AB\) (định nghĩa).
2. \(CF \perp AB\) (theo điều kiện).
3. Do đó, khi đó \(ME \parallel AC\) (vì \(AB = AC\)).

### c) Chứng minh \(AE = AF\)

1. Trong \( \triangle AMB \cong \triangle AMC\), ta có:
- \(AE = AF\).

### Kết luận
Tất cả các chứng minh cho thấy rằng \(AE = AF\). Từ đó, ta có thể kết luận và hoàn thiện bài toán này.