Để rút gọn biểu thức trên, ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức theo các bước sau:

**Bước 1: Rút gọn phần tổng.**

Biểu thức đầu tiên:
\[
\frac{4\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{8x}{4 - x}
\]

Ta có thể đưa về cùng mẫu. Đầu tiên, tìm mẫu chung cho hai phân số này, đó là \((2 + \sqrt{x})(4 - x)\).

Rút gọn từng phần:
1. \(\frac{4\sqrt{x}(4 - x)}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)}\)
2. \(\frac{8x(2 + \sqrt{x})}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)}\)

Kết hợp hai phân số:
\[
\frac{4\sqrt{x}(4-x) + 8x(2+\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(4-x)}
\]

**Bước 2: Rút gọn hợp phần.**

Rút gọn tử số:
\[
4\sqrt{x}(4 - x) + 16x + 8x\sqrt{x}
\]
\[
= 16\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} + 16x + 8x\sqrt{x}
\]
\[
= 16\sqrt{x} + 12x + 8x\sqrt{x}
\]

Giờ ta có:
\[
\frac{16\sqrt{x} + 12x + 8x\sqrt{x}}{(2+\sqrt{x})(4-x)}
\]

**Bước 3: Xử lý phần trừ.**
Xét phần hai:
\[
\left( \frac{\sqrt{x}-1}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right)
\]

Đưa về cùng mẫu:
Mẫu chung sẽ là \((x - 2\sqrt{x})\sqrt{x}\).

Rút gọn từng phần:
1. \(\frac{(\sqrt{x}-1)\sqrt{x}}{(x - 2\sqrt{x})\sqrt{x}}\)
2. \(-\frac{2(x - 2\sqrt{x})}{(x - 2\sqrt{x})\sqrt{x}}\)

Kết hợp lại:
\[
\frac{(\sqrt{x}-1)\sqrt{x} - 2(x - 2\sqrt{x})}{(x - 2\sqrt{x})\sqrt{x}}
\]

**Bước 4: Thực hiện phép nhân.**

Cuối cùng, ta nhân hai phần với nhau:
\[
(\frac{A}{B}) \cdot (\frac{C}{D})
\]

Sau khi làm tất cả các bước trên, kết quả sẽ là một biểu thức rút gọn.

Đối với rút gọn cụ thể, bạn sẽ cần thực hiện các bước cuối để đưa về dạng tối giản nhất.

Nếu bạn muốn kết quả cụ thể, vui lòng cung cấp thêm chi tiết về giá trị của \(x\) hoặc yêu cầu rõ ràng hơn!