Bài 5
a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật.
AH ⊥ BC (AH là đường cao)
AE ⊥ DB (gt)
AH // DB (do BD // AH)
Tứ giác AHBE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh A là trung điểm của DC.
Vì AHBE là hình chữ nhật nên AE = BH và AE // BH.
Mà BH = HC (do H là trung điểm BC)
Suy ra AE = HC và AE // HC.
Tứ giác AEHC là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Mà A = 90 độ (gt) nên AEHC là hình chữ nhật.
Do đó, AC và HE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà A là trung điểm của HE (do AHBE là hình chữ nhật) nên A cũng là trung điểm của DC.
c) Chứng minh ba điểm E, I, C thẳng hàng.
Vì I là trung điểm của AH và AHBE là hình chữ nhật nên I cũng là trung điểm của BE.
Ta có:
EI là đường trung bình của tam giác ABH.
IC là đường trung bình của tam giác AHC.
Suy ra EI // AC và IC // AB.
Mà AC ⊥ AB (gt) nên EI ⊥ IC.
Vậy E, I, C thẳng hàng.
Bài 6
a) Chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật.
M là trung điểm của BC (gt)
MN = MA (gt) => N đối xứng với A qua M
Tứ giác ABNC có hai đường chéo AC và BN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ABNC là hình bình hành.
Mà góc BAC = 90 độ (gt) nên ABNC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh BKNC là hình bình hành.
B là trung điểm của AK (gt)
B là trung điểm của NC (vì N đối xứng với A qua M, mà M là trung điểm của BC)
Tứ giác BKNC có hai đường chéo BK và NC cắt nhau tại trung điểm B của mỗi đường nên BKNC là hình bình hành.
c) Chứng minh KO = 2OM.
Trong hình bình hành BKNC, ta có:
KO // BN
Áp dụng định lý Ta-let trong tam giác BKN, ta có: KO/OM = BN/MB
Mà BN = 2BM (do N đối xứng với A qua M)
Suy ra KO/OM = 2
Vậy KO = 2OM.