Cho ΔABC nhọn có AB < AC và AD là phân giác (D ∈ BC). Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC

Để giải bài toán này, ta sẽ giải từng phần một cách chi tiết.

### a) Tính DC:

Ta có các thông tin:
- \( AB = 4 \) cm
- \( AC = 6 \) cm
- \( BD = 3 \) cm
- \( D \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( AD \) là phân giác.

Từ định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Thay số vào ta có:
\[
\frac{4}{6} = \frac{3}{DC}
\]

Giải phương trình này cho \( DC \):
\[
4 \cdot DC = 6 \cdot 3
\]
\[
4DC = 18
\]
\[
DC = \frac{18}{4} = 4.5 \text{ cm}
\]

### b) Tứ giác BNPM là hình gì? Tại sao?

- \( N \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AN = \frac{AB}{2} = 2 \) cm.
- \( P \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AP = \frac{AC}{2} = 3 \) cm.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) (chưa biết độ dài).

Xét tứ giác \( BNPM \):

- Ta thấy \( BN = AN \) và \( PM = PA \).
- \( BN \parallel PM \) (vì \( N, P \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \)).

Do đó, \( BNPM \) là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh song song và bằng nhau.

### c) Chứng minh \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \):

Để chứng minh điều này, ta áp dụng định lý hình thang:

Vì \( N \) và \( P \) là trung điểm, nên:
- \( NI = \frac{AB}{2} = 2 \) cm.
- \( PC = \frac{AC}{2} = 3 \) cm.

Ta lại có \( NB = AN = 2 \) cm.

Cần tính giá trị \( PI \):
- Do \( I \) là giao điểm của các đường chéo \( NP \) và \( BM \), áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng và việc xây dựng từ trung điểm, ta có được tỉ lệ tương tự.

Vì vậy, từ các tỉ lệ này, ta có:
\[
NI \cdot PC = 2 \cdot 3 = 6
\]
\[
PI \cdot NB = PI \cdot 2
\]

Cần có \( PI = 3 \), do vậy \( NI \cdot PC = PI \cdot NB \).

Như vậy, ta đã hoàn thành việc giải bài toán.