Để giải bất phương trình \( x - 3\sqrt{x} + 2 < 0 \), đầu tiên chúng ta đưa biểu thức về dạng dễ giải hơn.

1. Thay \( \sqrt{x} = t \). Khi đó, \( x = t^2 \) và điều kiện \( t \geq 0 \) (vì \( \sqrt{x} \) không âm).
2. Thay vào bất phương trình:

\[
t^2 - 3t + 2 < 0
\]

3. Giải phương trình bậc 2 \( t^2 - 3t + 2 = 0 \) để tìm các nghiệm:

Sử dụng công thức nghiệm, ta có:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}
\]

Tính ra:

\[
t = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{và} \quad t = \frac{3 - 1}{2} = 1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( t = 1 \) và \( t = 2 \).

4. Bây giờ chúng ta xét dấu của đa thức \( t^2 - 3t + 2 \):

- Chọn các khoảng: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, +\infty) \).
- Xét dấu của biểu thức trong từng khoảng:
- Với \( t < 1 \) (chẳng hạn \( t = 0 \)): \( 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \).
- Với \( 1 < t < 2 \) (chẳng hạn \( t = 1.5 \)): \( (1.5)^2 - 3 \cdot (1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \).
- Với \( t > 2 \) (chẳng hạn \( t = 3 \)): \( 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \).

Vậy \( t^2 - 3t + 2 < 0 \) khi \( 1 < t < 2 \).

5. Chuyển lại về \( x \) từ sự thay thế \( t = \sqrt{x} \):
- Ta có \( 1 < \sqrt{x} < 2 \).

Bình phương tất cả các thành phần:

\[
1^2 < x < 2^2 \implies 1 < x < 4
\]

6. Kết luận:

Bất phương trình \( x - 3\sqrt{x} + 2 < 0 \) có nghiệm là:

\[
x \in (1, 4)
\]