Để phân tích đa thức \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tích của hai đa thức.

\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2)
\]

Sử dụng quy tắc phân phối:

\[
= x^2(x^2 + x + 2) + x(x^2 + x + 2) + 1(x^2 + x + 2)
\]

\[
= x^4 + x^3 + 2x^2 + x^3 + x^2 + 2 + x^2 + x + 2
\]

\[
= x^4 + 2x^3 + (2x^2 + x^2 + x^2) + (x + 2) + 2
\]

\[
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 2
\]

2. Bây giờ ta sẽ trừ đi 6 từ kết quả trên:

\[
(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 6 = (x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 2) - 6
\]

\[
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 2 - 6
\]

\[
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x - 4
\]

3. Tiếp theo, ta sẽ phân tích đa thức \( x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x - 4 \).

Để phân tích đa thức này, ta có thể tìm các nghiệm của nó bằng phương pháp thử hoặc dùng định lý phân tích. Tìm nghiệm bằng cách thử là một trong những cách hiệu quả.

Giả sử chúng ta thử với một số giá trị. Nếu chúng ta thử với \( x = 1 \):

\[
1^4 + 2(1^3) + 4(1^2) + 1 - 4 = 1 + 2 + 4 + 1 - 4 = 4 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

Thử với \( x = -1 \):

\[
(-1)^4 + 2(-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) - 4 = 1 - 2 + 4 - 1 - 4 = -2 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

Thử với \( x = 2 \):

\[
2^4 + 2(2^3) + 4(2^2) + 2 - 4 = 16 + 16 + 16 + 2 - 4 = 46 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

Thử với \( x = -2 \):

\[
(-2)^4 + 2(-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 4 = 16 - 16 + 16 - 2 - 4 = 10 \quad (\text{không phải là nghiệm})
\]

4. Tiếp tục thử cho các giá trị khác cho đến khi tìm được nghiệm.

Sau một hồi thử nghiệm thì nghiệm không dễ tìm, có thể sử dụng công cụ hoặc máy tính để tìm các nghiệm của đa thức bậc 4 này.

Cuối cùng, nếu không tìm được nghiệm thực tế hay phân tích trực tiếp, ta có thể để y nguyên là:

\[
x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x - 4
\]

Hoặc sử dụng phương pháp số học nghĩa là vấn đề này có thể dùng Phương pháp Newton để xác định nghiệm thực.

Nếu nghiệm là thực, nó có thể được viết dưới dạng nhân tử nếu tìm thấy.

Vậy, đa thức đã cho không thể phân tích rõ ràng với nghiệm được dễ dàng như mong đợi trong trường hợp này.