Chứng minh rằng EA/EC = 2AB/CD

Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD} \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta làm như sau:

1. **Đặt các điểm và các đoạn thẳng**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( CD \), \( E \) là giao điểm của \( AC \) và \( BM \), \( F \) là giao điểm của \( BD \) và \( AM \).

2. **Xét các tam giác**:
- Trong tam giác \( ABE \) và tam giác \( CME \), ta có:
- \( AB \parallel CD \) nên \( \angle ABE = \angle CDE \) (góc đồng vị).
- \( \angle AEB = \angle CEM \) (góc đối đỉnh).
- Suy ra, \( \triangle ABE \sim \triangle CME \) (tam giác đồng dạng).

3. **Áp dụng tỉ lệ giữa các cạnh**:
- Theo tính chất tam giác đồng dạng:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD}
\]

4. **Xét thêm đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( CD \):
\[
CD = 2 \times MB
\]
- Suy ra:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{\frac{CD}{2}} = \frac{2AB}{CD}
\]

5. **Kết luận**:
Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
\]

Như vậy, bài toán được chứng minh.