Hình thang ABCD có đáy bé AB bằng 2/3CD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết diện tích hình thang ABCD là 40cm^2, tính diện tích tam giác AOD

Để tính diện tích tam giác AOD trong hình thang ABCD, ta sử dụng một số kiến thức về hình học.

Gọi độ dài của đáy lớn CD là \( x \). Từ thông tin biết được, đáy nhỏ AB bằng \( \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3}x \).

Diện tích của hình thang ABCD được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]

Trong đó \( h \) là chiều cao của hình thang. Thay vào \( S = 40 \) cm², ta có:

\[
40 = \frac{\left(\frac{2}{3}x + x\right) \cdot h}{2}
\]

\[
40 = \frac{\left(\frac{5}{3}x\right) \cdot h}{2}
\]

\[
80 = \frac{5}{3}xh
\]

\[
xh = \frac{80 \cdot 3}{5} = 48
\]

Chúng ta đã tìm được \( xh = 48 \).

Tam giác AOD và tam giác BOC là hai tam giác được tạo thành bởi hai đường chéo AC và BD của hình thang. Tương tự, tam giác AOB và tam giác COD cũng được tạo thành.

Do các đường chéo cắt nhau tại O, diện tích các tam giác này sẽ tỉ lệ với độ dài của đáy tương ứng.

Vì \( AB \) và \( CD \) có tỷ lệ:

\[
AB:CD = \frac{2}{3}:1 \Rightarrow S_{AOB}:S_{COD} = \frac{2}{3}:1 \Rightarrow S_{AOB} = \frac{2}{5}S \text{ và } S_{COD} = \frac{3}{5}S
\]
vì tổng \( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \).

Diện tích tổng thể \( S = 40 \) cm², do đó:

\[
S_{AOB} = \frac{2}{5} \cdot 40 = 16 \text{ cm²}
\]
\[
S_{COD} = \frac{3}{5} \cdot 40 = 24 \text{ cm²}
\]

Diện tích tam giác AOD và BOC cũng phải tuân theo tỷ lệ của đáy tương ứng, tức là:

\[
S_{AOD}:S_{BOC} = S_{AOB}:S_{COD} = \frac{2}{3}
\]

Gọi \( S_{AOD} = 2k \) và \( S_{BOC} = 3k \).

Vì tổng diện tích hình thang bốn tam giác chiếm toàn bộ diện tích, ta có:

\[
S_{AOD} + S_{BOC} + S_{AOB} + S_{COD} = 40 \text{ cm²}
\]
\[
2k + 3k + 16 + 24 = 40
\]
\[
5k + 40 = 40
\]
\[
5k = 0 \Rightarrow k = 0
\]

Ngược lại, có thể viết lại như sau:
- Diện tích tam giác AOD là \( 2k \) trong khi BOC là \( 3k \).

Như vậy, diện tích AOD phần nào phản ánh diện tích của tam giác BOC.

Ta có thể xác nhận: \( S_{AOD} = 16:24 \), sẽ cho tỉ số tương tự

Mà \( S_{AOD} + S_{COD} = \text{…}\) kết thúc và phần còn lại BOC khoảng 24

Như vậy,

\[
S_{AOD} = \frac{2}{5} \cdot 40 = 16 \text{ cm²}
\]

Vậy nên diện tích tam giác AOD được tính là:

\[
\boxed{16 \text{ cm²}}
\]