Để chứng minh tứ giác \( DHCE \) là hình chữ nhật, ta có thể tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định các góc**:
- Vì \( ED \) vuông góc với \( BC \) và \( EH \) vuông góc với \( AC \), ta thấy rằng:
- \( \angle EDC = 90^\circ \)
- \( \angle EHC = 90^\circ \)

2. **Xác định các cạnh**:
- Từ tam giác vuông \( ABC \), ta có:
- \( E \) là trung điểm của \( AB \), tức là \( AE = EB \).
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BC \). Vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \), \( AO \) và \( BO \) vuông góc với nhau.

3. **Chứng minh rằng \( DC = EH \)**:
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AE = EB \).
- Ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông để chứng minh rằng các cạnh \( DC \) và \( EH \) có độ dài bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Tứ giác \( DHCE \) có 3 góc vuông và các cạnh đối diện bằng nhau \( DC = EH \), do đó theo định nghĩa, \( DHCE \) là hình chữ nhật.

### B) Lấy điểm \( M \) thuộc tia đối tia \( ED \) sao cho \( EM = ED \):
- Ta có thể lấy điểm \( M \) sao cho \( EM = ED \), do đó \( M \) sẽ nằm trên tia đối của \( ED \).

### Chứng minh rằng \( DC = DB \) và tứ giác \( AMBD \) là hình bình hành:
- Với \( A, B, D \) là các đỉnh, khi \( E \) là trung điểm của \( AB \), ta có \( AD = DB \), tức là \( DC = DB \) và \( AM = MB \).

### C) Tìm tỷ lệ \( \frac{IN}{MB} \):
- \( I, N \) là giao điểm của \( CM, CE \) với \( AD \). Để tính được tỷ lệ này, ta cần biết thêm thông tin về các đoạn thẳng tương ứng trong tam giác.

Kết luận: Với các chứng minh và lý lẽ trên, ta đã chứng minh được tứ giác \( DHCE \) là hình chữ nhật.