Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
1 \frac{1}{4} - \left| \frac{x + 5}{6} \right| = -\frac{5 \cdot 21}{7 \cdot 6}.
\]

1. **Chuyển đổi các số**:
- \( 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \)
- Tính bên phải:
\[
-\frac{5 \cdot 21}{7 \cdot 6} = -\frac{105}{42} = -\frac{5}{2} \quad (sau khi rút gọn)
\]

2. **Viết lại phương trình**:
\[
\frac{5}{4} - \left| \frac{x + 5}{6} \right| = -\frac{5}{2}.
\]

3. **Biến đổi**:
- Di chuyển \(-\left| \frac{x + 5}{6} \right|\) sang bên phải:
\[
\frac{5}{4} + \frac{5}{2} = \left| \frac{x + 5}{6} \right|
\]

- Đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{5}{4} + \frac{10}{4} = \frac{15}{4}
\]
- Vậy ta có:
\[
\left| \frac{x + 5}{6} \right| = \frac{15}{4}
\]

4. **Giải phương trình giá trị tuyệt đối**:
- Phương trình có dạng:
\[
\frac{x + 5}{6} = \frac{15}{4} \quad \text{hoặc} \quad \frac{x + 5}{6} = -\frac{15}{4}
\]

5. **Giải từng trường hợp**:
- **Trường hợp 1**:
\[
\frac{x + 5}{6} = \frac{15}{4}
\]
Nhân cả hai vế với 6:
\[
x + 5 = \frac{15 \cdot 6}{4} = \frac{90}{4} = 22.5
\]
Vậy:
\[
x = 22.5 - 5 = 17.5
\]

- **Trường hợp 2**:
\[
\frac{x + 5}{6} = -\frac{15}{4}
\]
Nhân cả hai vế với 6:
\[
x + 5 = -\frac{15 \cdot 6}{4} = -\frac{90}{4} = -22.5
\]
Vậy:
\[
x = -22.5 - 5 = -27.5
\]

**Kết luận**:
Câu 5 có hai nghiệm:
\[
x = 17.5 \quad \text{và} \quad x = -27.5.
\]