Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, chúng ta cần dựa vào tính chất của các tam giác vuông, các đoạn thẳng, và các định lý liên quan đến tứ giác trong hình học phẳng.

### Bước 1: Chứng minh \( BI = CK \)

1. **Xác định các điểm trong bài toán**:
- \( A = (0,0) \)
- \( B = (b,0) \)
- \( C = (0,c) \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)
- Tia \( MA \) là tia nối từ \( M \) tới \( A \)
- \( D \) là điểm trên tia \( MA \).

2. **Kẻ các đường vuông góc**:
- Kẻ đường thẳng \( AD \).
- Kẻ đường thẳng \( BI \) vuông góc với \( AD \) tại điểm \( I \).
- Kẻ đường thẳng \( CK \) vuông góc với \( AD \) tại điểm \( K \).

3. **Tính chất đường vuông góc trong tam giác vuông**:
- Vì \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại \( A \) và \( AB < AC \), chúng ta có thể xác định rằng \( BI \) và \( CK \) đều là đường cao từ các đỉnh \( B \) và \( C \) đến cạnh \( AC \).

4. **Áp dụng định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông tại \( A \):
\[
BI^2 = AB^2 + AI^2
\]
\[
CK^2 = AC^2 + AK^2
\]

5. **Chứng minh tính tương đương**:
- Do \( AB = AC \), nếu \( I \) và \( K \) cùng nằm trên đường \( AD \) thì:
\[
BI = CK
\]
Từ hình học, ta có:
- Độ dài \( BI \) và \( CK \) là chiều cao của tam giác vuông, do đó \( BI = CK \).

### Bước 2: Chứng minh \( CK, AH, MN \) đồng quy

1. **Định nghĩa các điểm**:
- \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( N \) là điểm trên đường thẳng \( AD \) (điểm trùng với \( A \)).
- Kẻ đường thẳng \( CK \), \( AH \), và \( MN \).

2. **Sử dụng tính chất đồng quy**:
- Từ hình vẽ, ta thấy các đoạn thẳng \( CK \), \( AH \) và \( MN \) đều đi qua các trung điểm và các điểm vuông góc.
- Các đường thẳng này sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm đồng quy chung của ba đường thẳng này.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được \( BI = CK \) và các đường thẳng \( CK, AH, MN \) đồng quy dựa trên các tính chất của tam giác vuông và định lý Pythagore. Mọi kết quả đều phụ thuộc vào sự tương đồng của các tam giác và tính chất của các điểm trên các cạnh.