Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh rằng ∆KAB đồng dạng với ∆KNM, ∆CEM đồng dạng với ∆DAM, ∆NFD đồng dạng với ∆NBC.

1. **∆KAB đồng dạng với ∆KNM:**
- Gọi góc ∠KAB = α và góc ∠KNM = β.
- Do AE và BF cắt nhau tại K, nên ∠KAB = ∠MNB (cùng nằm trên đường thẳng).
- Do ∠MAB = ∠KAB = α và ∠MNB = β.
- Từ đó ta suy ra ∠KAB = ∠MNB.
- Góc ∠AKB = ∠NMB (cùng nằm trên đường thẳng), do đó ∆KAB và ∆KNM có hai góc tương ứng bằng nhau.
- Kết luận: ∆KAB ~ ∆KNM.

2. **∆CEM đồng dạng với ∆DAM:**
- Tương tự như trên, ta có ∠CEM = ∠DAM (góc đối đỉnh ở điểm M).
- Kết luận: ∆CEM ~ ∆DAM.

3. **∆NFD đồng dạng với ∆NBC:**
- Tương tự, ta có ∠NFD = ∠NBC (góc đối đỉnh ở điểm N).
- Kết luận: ∆NFD ~ ∆NBC.

### b) So sánh CM.DN và AB²

Gọi CM = x và DN = y. Ta có:
- Do tính đồng dạng và tỉ lệ giữa các đoạn trong các tam giác đồng dạng đã chứng minh ở phần a, ta sẽ có các tỉ lệ như sau:

\[
\frac{CM}{CA} = \frac{CE}{AE} \quad và \quad \frac{DN}{DB} = \frac{DF}{BF}
\]

Giả sử CA = a và DB = a,
Suy ra \(CM \cdot DN = \frac{CE \cdot DF}{AB^2} \), từ đó, nếu CE = DF, điều này sẽ dẫn đến tỉ lệ thỏa mãn d = AB².

Kết luận: CM.DN có thể được so sánh với AB², nhưng phụ thuộc vào vị trí của E và F.

### c) Các điểm E, F lấy ở vị trí nào trên các cạnh BC, AD thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Để tìm độ dài MN nhỏ nhất, ta cần xét điều kiện nào dẫn đến kết quả này. Điều này xảy ra khi CE = CF (tức là E và F đối xứng nhau). Khi đó, theo tỉ lệ đồng dạng và hình học của tam giác, độ dài MN sẽ tối thiểu.

Do đó, các điểm E và F nên được chọn sao cho CE = CF để đạt được điều kiện MN nhỏ nhất.

### Kết luận

- Phần a đã chứng minh các tam giác đồng dạng.
- Phần b so sánh CM.DN và AB² dựa trên tỉ số.
- Phần c đã xác định E và F ở vị trí sao cho CE = CF để đạt độ dài MN tối thiểu.