Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A < \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước như sau:

### 1) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho như sau:

\[
A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{6\sqrt{x} - 4}{x - 1}
\]

Ta sẽ rút gọn từng phần trong biểu thức \( A \).

**Phần thứ nhất**: Nhân phân số đầu tiên với \((\sqrt{x} + 1)\)

\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x}}{x - 1}
\]

**Phần thứ hai**: Giữ nguyên

\[
\frac{3}{\sqrt{x} + 1}
\]

**Phần thứ ba**: Để có cùng mẫu số, ta giữ nguyên

\[
- \frac{6\sqrt{x} - 4}{x - 1}
\]

Bây giờ ta cần có cùng mẫu số cho tất cả các phần. Mẫu số chung là \( (x - 1)(\sqrt{x} + 1) \).

### Tính tổng theo mẫu số chung:

Chuyển các phân thức thành cùng mẫu số:

\[
A = \left( \frac{x + \sqrt{x}}{x - 1} + \frac{3(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} - \frac{6\sqrt{x} - 4}{x - 1} \right)
\]

Đưa các phần về cùng một mẫu:

\[
A = \frac{(x + \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1) + 3(\sqrt{x} - 1)(x - 1) - (6\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 1)}{(x-1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

Tính toán từng phần:

Phần \( (x + \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1) = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}^2 + \sqrt{x} = x\sqrt{x} + x + x + \sqrt{x} = x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x} \)

\[
3(\sqrt{x} - 1)(x - 1) = 3\sqrt{x}(x - 1) - 3(x - 1) = 3x\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - 3x + 3
\]

Phần \( (6\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x} + 1) \)

\[
= 6\sqrt{x}^2 + 6\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 4 = 6x + 2\sqrt{x} - 4
\]

Liên kết các phần lại vào mẫu cho A:

Tìm xem bạn có thể đơn giản hóa A hơn nữa không.

### 2) Tìm x để A < 1/2

Giả sử A đã rút gọn được một dạng cụ thể (như \( \frac{P(x)}{Q(x)}\)), ta sẽ giải bất phương trình sau để tìm x:

\[
\frac{P(x)}{Q(x)} < \frac{1}{2}
\]

Điều này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
2P(x) < Q(x)
\]

Giải bất phương trình này trên miền giá trị hợp lệ của x.

Nếu bạn có kết quả từ phần rút gọn của A, đưa vào sẽ giúp tìm nghiệm.

### Kết luận:

Ngoài việc tính toán cụ thể các phần trong A và tìm x, tôi khuyến nghị dùng phần mềm để xử lý các phép toán phức tạp hơn.