Để giải phương trình \( (x+2)(x+3)(x-5)(x-6) = 180 \), ta sẽ đặt biểu thức \( f(x) = (x+2)(x+3)(x-5)(x-6) \) và giải phương trình \( f(x) - 180 = 0 \).

Đầu tiên, ta mở rộng biểu thức \( f(x) \):

\[
f(x) = (x+2)(x+3) \cdot (x-5)(x-6)
\]

Tính \( (x+2)(x+3) \):

\[
(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6
\]

Tính \( (x-5)(x-6) \):

\[
(x-5)(x-6) = x^2 - 11x + 30
\]

Giờ ta nhân hai kết quả này lại với nhau:

\[
f(x) = (x^2 + 5x + 6)(x^2 - 11x + 30)
\]

Áp dụng công thức nhân nhị thức:

\[
= x^4 + (5x - 11x)x^2 + (30x^2 + 6(-11x) + 5 \cdot 30)x + 6 \cdot 30
\]
\[
= x^4 - 6x^3 + (30 - 66 + 150)x + 180
\]
\[
= x^4 - 6x^3 + 114x + 180
\]

Vậy, ta có:

\[
f(x) = x^4 - 6x^3 + 114x + 180
\]

Bây giờ ta cần giải phương trình:

\[
x^4 - 6x^3 + 114x + 180 - 180 = 0
\]
\[
x^4 - 6x^3 + 114x = 0
\]
\[
x(x^3 - 6x^2 + 114) = 0
\]

Từ đây, ta có hai trường hợp:

1. \( x = 0 \)
2. Giải phương trình bậc ba \( x^3 - 6x^2 + 114 = 0 \)

Tiếp theo, để tìm nghiệm của phương trình bậc ba, ta có thể sử dụng phương pháp số hoặc đồ thị để xác định xem có nghiệm thực nào không. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể thử nghiệm các giá trị x nguyên xem có được nghiệm nào không.

Sau khi thử một số giá trị, nếu cần, ta có thể sử dụng công thức Cardano cho nghiệm của phương trình bậc ba, hoặc có thể dùng máy tính để tính.

Nghiệm \( x = 0 \) là một nghiệm. Hãy xem thử nghiệm các giá trị gần hơn với 6 hoặc hơn để kiểm tra có nghiệm nào khác không.

Nếu bạn muốn kiểm tra cụ thể từng giá trị, có thể dùng bảng biến thiên hoặc máy tính để tìm nghiệm cụ thể hơn cho phương trình bậc ba.