Để chứng minh các kết quả cho hình thang ABCD và đường thẳng song song cắt các đoạn thẳng AD, AC, BC theo thứ tự tại M, I, N, chúng ta sử dụng định lý Thales.

### a) Chứng minh \(\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}\)

1. **Áp dụng định lý Thales**: Vì đường thẳng đi qua các điểm M, I, N song song với AB và DC, nên theo định lý Thales, tỉ lệ đoạn thẳng sẽ giữ nguyên.

2. **Tỉ lệ tương ứng**: Ta có các tỉ lệ theo cặp:
- \(\frac{AM}{MD} = k\)
- \(\frac{BN}{NC} = k\)

Vì vậy, ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

### b) Chứng minh \(\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1\)

1. Từ tỉ lệ đã có ở phần a:
- Đặt tỉ lệ \(\frac{AM}{AD} = x\)
- \(\frac{CN}{CB} = 1 - x\)

2. **Biến đổi**:
- Vì \(AD = AM + MD\) và \(CB = BN + NC\), ta có: \(\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB}\).

3. **Sử dụng tỉ lệ**:
- Dùng tỉ lệ, ta có thể viết lại dưới dạng:
\[
x + (1 - x) = 1
\]

Kết hợp tất cả lại, chúng ta chứng minh được:
\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành xong bài chứng minh.