Dưới đây là cách rút gọn từng biểu thức trong bài toán:

### 4)
\[
A = \sum_{k=1}^{19} \frac{1}{a^2+k \cdot a} = \frac{1}{a(a+1)} + ... + \frac{1}{a^2 + 19a} = \frac{1}{a} \sum_{k=1}^{19} \frac{1}{a+k}
\]
Rút gọn, ta có:
\[
A = \frac{1}{a} \left( H_{19} - H_{0} \right)
\]
với \( H_n \) là số hạng harmonic.

### 5)
\[
A = \frac{4}{(x+3)^2} + \frac{x^2-25}{(3x+5)^2 - 4x^2} + \frac{9x^2 - (2x+5)^2}{(4x+15)^2 - x^2}
\]
Rút gọn từng phần một.

### 6)
\[
A = \frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-c)(b-a)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)}
\]
Sử dụng công thức đồng nhất để rút gọn. Giả sử \( S = a + b + c \):
\[
A = \frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}
\]

### 7)
\[
A = \frac{1}{(x-y)(y-z)} + \frac{1}{(y-z)(z-x)} + \frac{1}{(z-x)(x-y)}
\]
Rút gọn bằng cách quy về chung.

### 8)
\[
A = \frac{1}{(y-x)(z-x)} + \frac{1}{(y-x)(y-z)} + \frac{1}{(y-z)(z-x)}
\]
Kết hợp các phần tử để đơn giản hóa.

### 9)
\[
A = \frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} + \frac{2a}{a^2 + b^2} + \frac{4a^3}{a^4 + b^4} + \frac{8a^7}{a^8 + b^8}
\]
Rút gọn từng phần én riêng.

### 10)
\[
A = \sum_{k=0}^{16} \frac{1}{1 + x^k}
\]
Sử dụng định lý về chuỗi số học để tìm tổng.

Mỗi biểu thức có thể cần thêm công thức cụ thể để rút gọn hoàn toàn, và sẽ thuận lợi hơn khi có bối cảnh rõ ràng hơn.