Để giải bài toán này, ta có hai phần. Chúng ta sẽ giải từng phần một.

### Phần 1:

Cho \( \frac{x}{16} = \frac{y}{7} \) và \( x + y = 46 \).

1. Từ phương trình đầu tiên, ta suy ra:
\[
x = \frac{16y}{7}
\]

2. Thay vào phương trình \( x + y = 46 \):
\[
\frac{16y}{7} + y = 46
\]
\[
\frac{16y + 7y}{7} = 46
\]
\[
\frac{23y}{7} = 46
\]
\[
23y = 46 \times 7
\]
\[
23y = 322
\]
\[
y = \frac{322}{23} = 14
\]

3. Thay giá trị của \( y \) vào \( x + y = 46 \):
\[
x + 14 = 46
\]
\[
x = 46 - 14 = 32
\]

**Kết quả phần 1: \( x = 32, y = 14 \)**.

---

### Phần 2:

Cho \( \frac{x}{2} = \frac{y}{5} \) và \( x \cdot y = 1000 \).

1. Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
5x = 2y \implies y = \frac{5x}{2}
\]

2. Thay vào phương trình \( x \cdot y = 1000 \):
\[
x \cdot \left(\frac{5x}{2}\right) = 1000
\]
\[
\frac{5x^2}{2} = 1000
\]
\[
5x^2 = 2000
\]
\[
x^2 = 400 \implies x = 20 \text{ (vì } x \text{ phải dương)}
\]

3. Thay giá trị của \( x \) vào \( y = \frac{5x}{2} \):
\[
y = \frac{5 \times 20}{2} = 50
\]

**Kết quả phần 2: \( x = 20, y = 50 \)**.

### Tổng kết:
- Phần 1: \( (x, y) = (32, 14) \)
- Phần 2: \( (x, y) = (20, 50) \)