Để giải phương trình

$$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x^2 - 3x} + \frac{1}{x}$$

Trước tiên, chúng ta sẽ hợp nhất các hạng tử bên phải. Chúng ta có thể viết lại $x^2 - 3x$ là $x(x - 3)$, do đó:

$$\frac{3}{x^2 - 3x} = \frac{3}{x(x - 3)}$$

Bây giờ, phương trình trở thành:

$$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{3}{x(x - 3)} + \frac{1}{x}$$

Tiến hành tính toán phần bên phải. Chúng ta sẽ tìm đến mẫu số chung là $x(x - 3)$:

$$\frac{3}{x(x - 3)} + \frac{1}{x} = \frac{3 + (x - 3)}{x(x - 3)} = \frac{x}{x(x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$$

Bây giờ phương trình có thể viết lại như sau:

$$\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{1}{x - 3}$$

Nhân cả hai vế với $(x - 3)$ (với điều kiện $x \neq 3$), chúng ta có:

$$x + 3 = 1$$

Giải phương trình này, ta tìm được:

$$x = 1 - 3 = -2$$

Vì thế, nghiệm của phương trình là:

$$x = -2$$

Hãy kiểm tra lại xem $x = -2$ có thỏa mãn phương trình ban đầu không. Thay $x = -2$ vào phương trình ban đầu:

Bên trái:

$$\frac{-2 + 3}{-2 - 3} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$$

Bên phải:

$$\frac{3}{(-2)^2 - 3(-2)} + \frac{1}{-2} = \frac{3}{4 + 6} - \frac{1}{2} = \frac{3}{10} - \frac{1}{2} = \frac{3}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$$

Như vậy, cả hai vế đều bằng nhau, ta có nghiệm đúng.

**Kết luận:** Nghiệm của phương trình là:

$$x = -2$$