Chúng ta có hệ phương trình sau:

$$x + \frac{1}{3} = y + \frac{2}{5} = \frac{2z + 12}{9}$$

và

$$x + z = y$$

Đặt $k = x + \frac{1}{3} = y + \frac{2}{5} = \frac{2z + 12}{9}$. Ta có:

1. Từ phương trình đầu tiên:
$$x + \frac{1}{3} = k \implies x = k - \frac{1}{3}$$
$$y + \frac{2}{5} = k \implies y = k - \frac{2}{5}$$
$$\frac{2z + 12}{9} = k \implies 2z + 12 = 9k \implies 2z = 9k - 12 \implies z = \frac{9k - 12}{2}$$

2. Thay $x$, $y$, và $z$ vào phương trình thứ hai $x + z = y$:
$$(k - \frac{1}{3}) + \left(\frac{9k - 12}{2}\right) = k - \frac{2}{5}$$

3. Giải phương trình này:
- Tính $x + z$:
$$k - \frac{1}{3} + \frac{9k - 12}{2}$$
Đưa về cùng mẫu số:
$$x + z = k - \frac{1}{3} + \frac{9k - 12}{2} = k - \frac{2}{6} + \frac{27k - 72}{6} = \frac{6k + 27k - 72 - 2}{6} = \frac{33k - 74}{6}$$

- Tính $y$:
$$k - \frac{2}{5}$$
Đưa về cùng mẫu số:
$$y = k - \frac{2}{5} = \frac{5k - 2}{5}$$

Như vậy chúng ta có phương trình:
$$\frac{33k - 74}{6} = \frac{5k - 2}{5}$$

4. Giải phương trình:
- Nhân chéo:
$$5(33k - 74) = 6(5k - 2)$$
$$165k - 370 = 30k - 12$$
- Rút gọn:
$$135k = 358 \implies k = \frac{358}{135}$$

5. Thay $k$ vào $x$, $y$, và $z$:
- Tính $x$:
$$x = k - \frac{1}{3} = \frac{358}{135} - \frac{45}{135} = \frac{313}{135}$$
- Tính $y$:
$$y = k - \frac{2}{5} = \frac{358}{135} - \frac{54}{135} = \frac{304}{135}$$
- Tính $z$:
$$z = \frac{9k - 12}{2} = \frac{9 \cdot \frac{358}{135} - 12}{2} = \frac{\frac{3222}{135} - 12}{2} = \frac{\frac{3222 - 1620}{135}}{2} = \frac{1602}{270} = \frac{801}{135}$$

Vậy kết quả là:
$$x = \frac{313}{135}, \quad y = \frac{304}{135}, \quad z = \frac{801}{135}$$