Cho hình vuông ABCD

Để chứng minh hai phần a và b, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và tính đồng dạng của các tam giác.

### Phần a: Chứng minh tam giác NBC đồng dạng với tam giác BCM

1. **Đặt các cạnh cho dễ nhìn**:
- Gọi \( AB = a \), \( BC = a \), \( CD = a \), \( DA = a \).
- Thì \( AE \) cắt \( CD \) tại \( M \) và \( DE \) cắt \( AD \) tại \( N \).

2. **Xét các góc trong hai tam giác**:
- Tam giác \( NBC \):
- Góc \( N \) là góc giữa cạnh \( NB \) và cạnh \( BC \).
- Góc \( B \) là góc vuông (vì \( ABCD \) là hình vuông).
- Góc \( C \) là góc giữa cạnh \( BC \) và cạnh \( CM \) (cùng nằm trong mặt phẳng của tam giác \( BCM \)).

- Tam giác \( BCM \):
- Góc \( B \) là góc vuông.
- Góc \( C \) cũng được nhìn nhận trong tam giác \( BCM \).

3. **So sánh và khẳng định**:
- Ta có:
- \( \angle NBC = \angle BCM \) (do tính chất đồng dạng và có chung một góc vuông).
- \( \angle BNC = \angle BMC \) (cũng là góc chung).
- Một góc còn lại \( \angle NCB = \angle CBE \).

4. **Kết luận**:
- Suy ra: Tam giác \( NBC \) đồng dạng với tam giác \( BCM \) theo tiêu chí (góc-góc).

### Phần b: Chứng minh BM vuông góc với CN

1. **Dùng tính chất đồng dạng**:
- Từ phần a, chúng ta có \( \triangle NBC \sim \triangle BCM \).
- Do sự đồng dạng này lần nữa, tỉ số giữa các cạnh tương ứng là không đổi.

2. **Phân tích các cạnh**:
- Gọi \( BM \) là một đoạn thẳng từ điểm \( B \) đến \( M \).
- Gọi \( CN \) là một đoạn thẳng từ \( C \) đến \( N \).

3. **Sử dụng tính chất hình vuông và đương thẳng**:
- Do trong hình vuông \( ABCD \), các cạnh vuông góc với nhau, đường thẳng \( BM \) đương nhiên sẽ vuông góc với đường thẳng \( CN \) tại giao điểm \( B \).
- Hơn nữa, theo tính chất của tam giác đồng dạng và các góc cấu thành từ các cạnh, ta thấy rằng \( \angle BMN + \angle CNB = 90^\circ \).

4. **Kết luận**:
- Vì vậy, \( BM \) vuông góc với \( CN \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được phần a và b, tức là tam giác \( NBC \) đồng dạng với tam giác \( BCM \) và \( BM \) vuông góc với \( CN \).