Để tìm giá trị \( k \) cho các phương trình đã cho trong bài toán:

### Phương trình a:
\[
(x - 13 + y)^2 + (x - 6 - y)^2 = 0
\]

Để tổng của hai bình phương bằng 0, mỗi bình phương phải bằng 0. Điều này dẫn đến:
\[
x - 13 + y = 0 \quad (1)
\]
\[
x - 6 - y = 0 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình này, từ (1) có:
\[
y = 13 - x
\]
Thay vào (2):
\[
x - 6 - (13 - x) = 0
\]
\[
2x - 19 = 0 \implies x = \frac{19}{2}
\]
Thay \( x \) vào (1):
\[
y = 13 - \frac{19}{2} = \frac{26}{2} - \frac{19}{2} = \frac{7}{2}
\]

Do đó, nghiệm của phương trình này là \( (x, y) = \left( \frac{19}{2}, \frac{7}{2} \right) \).

### Phương trình b:
\[
2x^{2k} + \left( y - \frac{2}{3} \right)^{4k} = 0
\]

Tương tự, để tổng của hai hạng tử bằng 0, mỗi hạng tử cũng phải bằng 0. Do đó:
\[
2x^{2k} = 0 \quad \text{và} \quad \left( y - \frac{2}{3} \right)^{4k} = 0
\]

Từ \( 2x^{2k} = 0 \), ta có \( x^{2k} = 0 \) dẫn đến \( x = 0 \) (vì \( k \in \mathbb{N} \)).
Từ \( \left( y - \frac{2}{3} \right)^{4k} = 0 \), ta có \( y - \frac{2}{3} = 0 \) dẫn đến \( y = \frac{2}{3} \).

Do đó, nghiệm của phương trình này là \( (x, y) = (0, \frac{2}{3}) \).

### Kết luận:
Giá trị \( k \) không bị ràng buộc trong phương trình b, vì \( k \in \mathbb{N} \) và không ảnh hưởng đến các nghiệm. Cặp nghiệm cho phương trình a là \( \left( \frac{19}{2}, \frac{7}{2} \right) \) và cho phương trình b là \( (0, \frac{2}{3}) \).