Tìm a, b thuộc N

Để tìm các cặp số tự nhiên \( a \) và \( b \) thỏa mãn các điều kiện cho trước, ta sẽ sử dụng các định lý về ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

### A) ƯCLN(a, b) = 10 và BCNN(a, b) = 90

Theo định lý liên quan đến ƯCLN và BCNN, ta có:
\[
\text{ƯCLN}(a, b) \times \text{BCNN}(a, b) = a \times b
\]
Vậy ta có:
\[
10 \times 90 = a \times b \implies a \times b = 900
\]

Vì \( \text{ƯCLN}(a, b) = 10 \), ta có thể viết \( a \) và \( b \) dưới dạng:
\[
a = 10m \quad \text{và} \quad b = 10n
\]
với \( m \) và \( n \) là các số nguyên dương sao cho \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \). Thay vào phương trình \( a \times b = 900 \):
\[
10m \times 10n = 900 \implies 100mn = 900 \implies mn = 9
\]

Các cặp \((m, n)\) thỏa mãn \( mn = 9 \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) bao gồm các cặp \((1, 9), (3, 3), (9, 1)\). Tuy nhiên, chỉ có cặp \((1, 9)\) và \((9, 1)\) là thỏa mãn điều kiện ƯCLN:
1. \( m = 1, n = 9 \): \( a = 10 \cdot 1 = 10, b = 10 \cdot 9 = 90 \)
2. \( m = 9, n = 1 \): \( a = 10 \cdot 9 = 90, b = 10 \cdot 1 = 10 \)

Do đó, cặp số \( (a, b) \) có thể là \( (10, 90) \) hoặc \( (90, 10) \).

### B) BCNN(a, b) + ƯCLN(a, b) = 15

Áp dụng định lý liên quan đến ƯCLN và BCNN:
\[
\text{BCNN}(a, b) + \text{ƯCLN}(a, b) = 15
\]

Gọi \( x = \text{ƯCLN}(a, b) \) và \( y = \text{BCNN}(a, b) \), ta có:
\[
x + y = 15 \implies y = 15 - x
\]
Theo định lý, \( x \cdot y = a \cdot b \). Thay \( y \) vào ta có:
\[
x(15 - x) = a \cdot b
\]

Giả sử \( x \) có thể nhận các giá trị là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14:

- \( x = 1 \) thì \( y = 14 \): \( ab = 1 \cdot 14 = 14 \).
- \( x = 2 \) thì \( y = 13 \): \( ab = 2 \cdot 13 = 26 \).
- \( x = 3 \) thì \( y = 12 \): \( ab = 3 \cdot 12 = 36 \).
- \( x = 4 \) thì \( y = 11 \): \( ab = 4 \cdot 11 = 44 \).
- \( x = 5 \) thì \( y = 10 \): \( ab = 5 \cdot 10 = 50 \).
- \( x = 6 \) thì \( y = 9 \): \( ab = 6 \cdot 9 = 54 \).
- \( x = 7 \) thì \( y = 8 \): \( ab = 7 \cdot 8 = 56 \).
- \( x = 8 \) thì \( y = 7 \): \( ab = 8 \cdot 7 = 56 \).
- \( x = 9 \) thì \( y = 6 \): \( ab = 9 \cdot 6 = 54 \).
- \( x = 10 \) thì \( y = 5 \): \( ab = 10 \cdot 5 = 50 \).
- \( x = 11 \) thì \( y = 4 \): \( ab = 11 \cdot 4 = 44 \).
- \( x = 12 \) thì \( y = 3 \): \( ab = 12 \cdot 3 = 36 \).
- \( x = 13 \) thì \( y = 2 \): \( ab = 13 \cdot 2 = 26 \).
- \( x = 14 \) thì \( y = 1 \): \( ab = 14 \cdot 1 = 14 \).

Từ đây có thể kiểm tra các \( a \) và \( b \) với các giá trị khác nhau của \( x \) và \( y \).

Cuối cùng, có thể tổng hợp các cặp \( (a, b) \) cho từng giá trị của \( x \) và \( y \) để tìm ra n.

Do điều kiện không cụ thể hơn, đây là những phương pháp và cách tiếp cận để tìm ra \( a \) và \( b \). Bạn có thể thử từng cặp để có được các giá trị cụ thể cho \( a \) và \( b \) thỏa mãn yêu cầu.