Để chứng minh \( DC = DE \), ta sử dụng một số kiến thức về tam giác và các góc trong tam giác vuông.

1. **Xét tam giác \( ABC \)**:
- \( \angle A = 90^\circ \)
- \( \angle C = 40^\circ \)
- Do đó, \( \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

2. **Chọn điểm** \( D \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( \angle CBD = 20^\circ \).
- Khi đó, \( \angle ABC = 50^\circ \) và \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 50^\circ - 20^\circ = 30^\circ \).

3. **Xét điểm** \( E \) trên cạnh \( AB \) sao cho \( \angle ADE = 20^\circ \).
- Điều này có nghĩa là \( \angle ADE = 20^\circ \) và \( \angle ADB = 30^\circ \).

4. **Sử dụng định lý gồm tính chất của các góc:**
- Trong tam giác \( ADB \), ta thấy \( \angle ADB + \angle ABD + \angle ADE = 180^\circ \).
- Thay số vào ta có: \( 30^\circ + 20^\circ + \angle DAB = 180^\circ \Rightarrow \angle DAB = 130^\circ \).

5. **Xét tam giác \( CDE \)**:
- \( \angle CDE + \angle DCE + \angle CED = 180^\circ \).
- Lần lượt, \( \angle CDE = \angle ADB = 30^\circ \), \( \angle DCE = \angle C = 40^\circ \).

6. **Tính góc còn lại**:
- Từ đó, ta có: \( \angle CED = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ \).

7. **Kết luận**:
- Trong tam giác \( CDE \), với \( CD \) và \( DE \) tạo thành hai góc tương ứng bằng nhau ( \( \angle CED = \angle ADE \)).
- Do vậy, theo định lý Sin hoặc tính chất tam giác, suy ra \( DC = DE \).

Vậy, ta có \( DC = DE \).