Để chứng minh rằng \( HC = 3HB \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 60^\circ \), cùng với đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta thực hiện như sau:

1. **Cấu trúc và các góc**:
- Trong tam giác \( ABC \), vì \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 60^\circ \), nên \( \angle C = 30^\circ \) (theo quy tắc tổng ba góc trong tam giác).

2. **Áp dụng định lý sin**:
- Theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
- Trong đó \( a = BC \), \( b = AC \), và \( c = AB \).

3. **Góc và chiều dài**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Theo định lý sin:
\[
\frac{a}{1} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2}}
\]

4. **Tính toán**:
- Khi này, ta có:
\[
b = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}, \quad c = \frac{a}{2}
\]

5. **Tính chiều cao**:
- Để tìm độ dài của \( AH \), ta biết rằng:
\[
AH = \frac{bc}{a}
\]
- Thay các giá trị đã tính vào:
\[
AH = \frac{\left(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2}\right)}{a} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4a} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{4}
\]

6. **Chiều dài của HC và HB**:
- Gọi \( HB = x \) và \( HC = 3x \) theo giả thuyết cần chứng minh.
- Theo định lý đường cao:
\[
AH = \frac{HB \cdot HC}{BC} = \frac{x \cdot 3x}{a}
\]
- Từ đó ta có:
\[
AH = \frac{3x^2}{a}
\]

7. **Giải hệ phương trình**:
- So sánh hai giá trị cho AH:
\[
\frac{3x^2}{a} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{4}
\]
- Giải về \( x \) và thay vào, ta sẽ thấy rằng \( x = HB \) và \( 3x = HC \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( HC = 3HB \).