Để tìm các giá trị \( a, b, c \) sao cho hai bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn:

### Bất đẳng thức 1:
\[
(2a+1)^2 + (b+3)^4 + (5c-6)^2 \leq 0
\]
Vì tất cả các thành phần \( (2a + 1)^2 \), \( (b + 3)^4 \), và \( (5c - 6)^2 \) đều là bình phương không âm (tức là không âm), nên tổng của chúng chỉ bằng 0 khi từng thành phần bằng 0.

- \( (2a + 1)^2 = 0 \) dẫn đến \( 2a + 1 = 0 \) hay \( a = -\frac{1}{2} \).
- \( (b + 3)^4 = 0 \) dẫn đến \( b + 3 = 0 \) hay \( b = -3 \).
- \( (5c - 6)^2 = 0 \) dẫn đến \( 5c - 6 = 0 \) hay \( c = \frac{6}{5} \).

Vậy, từ bất đẳng thức 1, ta có:
\[
a = -\frac{1}{2},\ b = -3,\ c = \frac{6}{5}
\]

### Bất đẳng thức 2:
\[
(b-7)^2 + (3b + 2)^2 + (4c - 5)^6 \leq 0
\]
Tương tự như trên, các thành phần của bất đẳng thức này cũng không âm. Điều này có nghĩa là:
- \( (b - 7)^2 = 0 \) dẫn đến \( b - 7 = 0 \) hay \( b = 7 \).
- \( (3b + 2)^2 = 0 \) dẫn đến \( 3b + 2 = 0 \) hay \( b = -\frac{2}{3} \).
- \( (4c - 5)^6 = 0 \) dẫn đến \( 4c - 5 = 0 \) hay \( c = \frac{5}{4} \).

Khi xem xét phương trình này, ta thấy không thể tìm được \( b \) thỏa mãn cả hai điều kiện (vì \( b \) không có giá trị chung nào cho bất đẳng thức 1 và 2).

Tóm lại, với bất đẳng thức đầu tiên, ta có \( a = -\frac{1}{2}, b = -3, c = \frac{6}{5} \). Không tồn tại giá trị cho \( b \) và \( c \) từ bất đẳng thức thứ hai.

Do đó, hệ phương trình này không có nghiệm. If you have any more questions about how to approach similar problems or further clarifications, feel free to ask!