Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACF \ là bằng nhau \), ta sẽ sử dụng các yếu tố đã cho trong bài toán.

### Các yếu tố đã cho:
1. \( AB = AC \) (cạnh đối xứng)
2. \( AE + AF = 2AM \) (điều này có thể suy ra từ tính chất của các đoạn thẳng)
3. \( BE \perp AC \) và \( CF \perp AB \) (các đoạn thẳng vuông góc)

### Chứng minh:
1. **Cạnh:** Chúng ta có \( AB = AC \) (Điều đã cho).
2. **Góc:** \( \angle ABE \) và \( \angle ACF \) đều vuông (do \( BE \perp AC \) và \( CF \perp AB \)), nên \( \angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \).
3. **Đoạn thẳng:** Cả hai tam giác đều có chung cạnh \( AM \) (do \( AE + AF = 2AM \)), tức là \( AM \) là đoạn thẳng chung hay \( AM = AM \) trong hai tam giác đó.

### Kết luận:
Từ các yếu tố đã phân tích, ta có:

- \( AB = AC \)
- \( \angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \) (góc vuông)
- \( AM = AM \) (cạnh chung)

Do đó, theo tiêu chuẩn tam giác bằng nhau (cạnh - góc - cạnh), ta có thể kết luận:

\[
\triangle ABE = \triangle ACF
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( \triangle ABE \) đồng dạng với \( \triangle ACF \).