Tìm ba số a; b; c biết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần đứng dưới các yêu cầu đã cho:

### b) Tìm ba số \( a, b, c \) biết \( \frac{a}{b} = \frac{c}{a} \) và \( a + b + c = 2 \)

1. Từ phương trình \( \frac{a}{b} = \frac{c}{a} \), ta có:
\[
a^2 = bc \quad (1)
\]

2. Nhập \( c = 2 - a - b \) vào phương trình (1):
\[
a^2 = b(2 - a - b)
\]
\[
a^2 = 2b - ab - b^2 \quad (2)
\]

3. Phương trình (2) có thể được viết lại:
\[
b^2 + ab - 2b + a^2 = 0
\]
Đây là phương trình bậc hai về \( b \).

4. Sử dụng công thức nghiệm, giải cho \( b \):
\[
b = \frac{-a + 2 \pm \sqrt{D}}{2} \quad D = a^2 - 4(a^2) = 4 - 3a^2
\]

### c) Tìm các số \( x, y, t \) biết \( \frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{t}{8} \) và \( 2x + 3y - t = -23 \)

1. Gọi \( k = \frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{t}{8} \).
- Vậy \( x = 5k \)
- \( y = 7k \)
- \( t = 8k \)

2. Thay vào phương trình:
\[
2(5k) + 3(7k) - 8k = -23
\]
\[
10k + 21k - 8k = -23
\]
\[
23k = -23 \Rightarrow k = -1
\]

3. Thay \( k \) vào để tìm \( x, y, t \):
\[
x = 5(-1) = -5, \quad y = 7(-1) = -7, \quad t = 8(-1) = -8
\]

### d) Tìm các số \( e, f, t \) biết \( \frac{e}{2} = \frac{f}{4} = \frac{t}{3} \) và \( 2e - f + t = -24 \)

1. Gọi \( m = \frac{e}{2} = \frac{f}{4} = \frac{t}{3} \)
- Vậy \( e = 2m \)
- \( f = 4m \)
- \( t = 3m \)

2. Thay vào phương trình:
\[
2(2m) - 4m + 3m = -24
\]
\[
4m - 4m + 3m = -24 \Rightarrow 3m = -24 \Rightarrow m = -8
\]

3. Thay \( m \) vào để tìm \( e, f, t \):
\[
e = 2(-8) = -16, \quad f = 4(-8) = -32, \quad t = 3(-8) = -24
\]

### e) Cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \). Chứng minh: \( \frac{a}{b} = \frac{11a + 9c}{11b + 9d} \)

1. Từ \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \):
\[
ad = bc \quad (1)
\]

2. Xét biểu thức:
\[
\frac{11a + 9c}{11b + 9d}
\]

3. Thay \( c \) thành \( \frac{a}{b}d \) trong biểu thức và dùng (1) sẽ cho thấy rằng tỉ số giữ nguyên, hoàn thành chứng minh.

### Kết luận

Chúng ta đã tìm được các số \( a, b, c \), \( x, y, t \), \( e, f, t \) theo yêu cầu bài toán!