Để chứng minh các kết quả trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a. Chứng minh rằng DC = BE.
Gọi \( O \) là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của các tam giác vuông cân. Ta có:

1. **Tam giác ABD** vuông tại A, nên:
\[
AB = AD \quad \text{và} \quad \angle DAB = 45^\circ
\]

2. **Tam giác ACE** vuông tại A, nên:
\[
AC = AE \quad \text{và} \quad \angle EAC = 45^\circ
\]

3. Khi hợp nhất các tam giác vuông cân này, ta nhận thấy rằng các tam giác AMC và AMB cũng vuông tại A.

Hãy sử dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông cân:
- Trong tam giác ABD:
\[
AB^2 + AD^2 = BD^2
\]
- Trong tam giác ACE:
\[
AC^2 + AE^2 = CE^2
\]

Vì \( AB = AD \) và \( AC = AE \), ta có:
\[
AB^2 + AB^2 = BD^2 \quad \text{và} \quad AC^2 + AC^2 = CE^2
\]

Khi đó, \( BD \) và \( CE \) đều có độ dài bằng nhau.
Ngoài ra, do hai tam giác ABD và ACE đều vuông cân và được xây dựng cách đều từ điểm A đến các điểm D và E, nên đoạn AC và AB sẽ tạo thành các cặp cạnh tương ứng với các độ dài bằng nhau. Do vậy, đoạn BE và DC cũng bằng nhau, ta có:
\[
DC = BE
\]

### b. Chứng minh rằng DC vuông góc với BE.
Để chứng minh rằng \( DC \) vuông góc với \( BE \), chúng ta sử dụng tính chất vuông góc của hai tam giác vuông cân.
1. Xét tam giác ABD vuông tại A, đoạn DC được tạo thành từ trung điểm của AB và AE.
2. Tương tự, tam giác ACE cũng vuông tại A và tạo ra đoạn BE từ trung điểm của AC và AD.

Vì AB vuông góc với AC trong tam giác vuông và bằng nhau, hai đoạn thẳng DC và BE lần lượt là các cạnh của các tam giác vuông cân tạo ra một góc 90 độ tại A.

Theo định nghĩa của góc vuông, ta có:
\[
\angle A = 90^\circ \Rightarrow DC \perp BE
\]

Như vậy, kết quả đã được chứng minh là \( DC \) vuông góc với \( BE \).

Tổng kết lại:
- \( DC = BE \)
- \( DC \perp BE \)

Hai phần b bài toán đã hoàn thành!