Để tính giá trị của biểu thức \( A \), ta sẽ tính từng phần của biểu thức trước rồi kết hợp lại với nhau.

Bước 1: Tính tử số \( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} - \frac{1}{13} \)

Tìm chung mẫu cho ba phân số:

- Mẫu chung là \( 3 \times 7 \times 13 = 273 \).

Tính các phân số:

\[
\frac{1}{3} = \frac{91}{273}, \quad \frac{1}{7} = \frac{39}{273}, \quad \frac{1}{13} = \frac{21}{273}.
\]

Tính tử số:

\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{7} - \frac{1}{13} = \frac{91}{273} - \frac{39}{273} - \frac{21}{273} = \frac{91 - 39 - 21}{273} = \frac{31}{273}.
\]

Bước 2: Tính mẫu số \( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} - \frac{2}{13} \)

Làm tương tự như trên:

\[
\frac{2}{3} = \frac{182}{273}, \quad \frac{2}{7} = \frac{78}{273}, \quad \frac{2}{13} = \frac{42}{273}.
\]

Tính mẫu số:

\[
\frac{2}{3} - \frac{2}{7} - \frac{2}{13} = \frac{182}{273} - \frac{78}{273} - \frac{42}{273} = \frac{182 - 78 - 42}{273} = \frac{62}{273}.
\]

Bước 3: Tính phần đầu tiên của biểu thức:

\[
\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{7} - \frac{1}{13}}{\frac{2}{3} - \frac{2}{7} - \frac{2}{13}} = \frac{\frac{31}{273}}{\frac{62}{273}} = \frac{31}{62} = \frac{1}{2}.
\]

Bước 4: Tính phần thứ hai của biểu thức \( \frac{3}{4} - \frac{3}{16} - \frac{3}{64} - \frac{3}{256} \)

Tìm chung mẫu cho bốn phân số: mẫu chung là 256.

Tính các phân số:

\[
\frac{3}{4} = \frac{192}{256}, \quad \frac{3}{16} = \frac{48}{256}, \quad \frac{3}{64} = \frac{12}{256}, \quad \frac{3}{256} = \frac{3}{256}.
\]

Tính tử số:

\[
\frac{3}{4} - \frac{3}{16} - \frac{3}{64} - \frac{3}{256} = \frac{192 - 48 - 12 - 3}{256} = \frac{192 - 48 - 12 - 3}{256} = \frac{129}{256}.
\]

Bước 5: Tính mẫu số \( 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} \)

Tìm chung mẫu cho bốn phân số: mẫu chung là 64.

Tính các phân số:

\[
1 = \frac{64}{64}, \quad \frac{1}{4} = \frac{16}{64}, \quad \frac{1}{16} = \frac{4}{64}, \quad \frac{1}{64} = \frac{1}{64}.
\]

Tính mẫu số:

\[
1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{64 - 16 - 4 - 1}{64} = \frac{43}{64}.
\]

Bước 6: Tính phần thứ hai của biểu thức:

\[
\frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{16} - \frac{3}{64} - \frac{3}{256}}{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64}} = \frac{\frac{129}{256}}{\frac{43}{64}} = \frac{129}{256} \times \frac{64}{43} = \frac{129 \times 64}{256 \times 43} = \frac{129 \times 64}{256 \times 43}.
\]

Bước 7: Tính \( 256 = 4 \times 64\):

Ta có:

\[
\frac{129 \times 64}{256 \times 43} = \frac{129}{4 \times 43} = \frac{129}{172}.
\]

Bước 8: Cuối cùng, tính toàn bộ biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{2} \times \frac{129}{172} + \frac{5}{8}.
\]

Để cộng hai phân số này, tìm mẫu chung (mẫu chung là 172):

Tính \(\frac{1}{2} \times \frac{129}{172}\):

\[
= \frac{129}{344}.
\]

Tính \(\frac{5}{8}\):

Mẫu 172:

\[
\frac{5}{8} = \frac{5 \times 21.5}{8 \times 21.5} = \frac{107.5}{172} \approx \frac{108}{172}.
\]

Cộng hai phân số:

\[
\Rightarrow A = \frac{129 + 108}{344} = \frac{129 + 107.5}{344} \approx \frac{227.5}{344}.
\]

Cuối cùng, làm tròn cho giá trị \(A\).

Vậy giá trị của \( A \approx \frac{108 + 29}{344} \).