Để rút gọn biểu thức đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Phân tích mẫu số
Biểu thức hiện tại là:

\[
\frac{2}{x+2} + \frac{-4}{2-x} + \frac{5x+2}{4-x^2}
\]

Mẫu số của từng phân thức:
- \(x + 2\) (không cần biến đổi)
- \(2 - x = -(x - 2)\) (đổi dấu)
- \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\)

### Bước 2: Tìm mẫu số chung
Mẫu số chung sẽ là:

\[
(x + 2)(2 - x)(2 + x)
\]

### Bước 3: Chuyển mỗi phân thức về mẫu số chung
- Đối với phân thức đầu tiên:
\[
\frac{2}{x+2} \cdot \frac{(2-x)(2+x)}{(2-x)(2+x)} = \frac{2(2-x)(2+x)}{(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

- Đối với phân thức thứ hai:
\[
\frac{-4}{2-x} \cdot \frac{(x+2)(2+x)}{(x+2)(2+x)} = \frac{-4(x+2)(2+x)}{(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

- Đối với phân thức thứ ba:
\[
\frac{5x+2}{4-x^2} = \frac{5x+2}{(2-x)(2+x)}
\]
\[
\frac{5x+2}{(2-x)(2+x)} \cdot \frac{(x+2)}{(x+2)} = \frac{(5x+2)(x+2)}{(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

### Bước 4: Cộng các phân thức lại
Biểu thức trở thành:
\[
\frac{2(2-x)(2+x) - 4(x+2)(2+x) + (5x+2)(x+2)}{(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

### Bước 5: Tính toán tử số
Bây giờ ta tiến hành nhân và cộng các tử số lại.

- Tính từng thành phần trong tử số:
1. **Tính \(2(2-x)(2+x)\)**:
\[
2[(2-x)(2+x)] = 2(4 - x^2) = 8 - 2x^2
\]

2. **Tính \(-4(x+2)(2+x)\)**:
\[
-4[(x+2)(2+x)] = -4(2x + 4 + x^2) = -4x^2 - 8x - 8
\]

3. **Tính \((5x+2)(x+2)\)**:
\[
(5x+2)(x+2) = 5x^2 + 10x + 2x + 4 = 5x^2 + 12x + 4
\]

### Bước 6: Cộng tất cả lại
Tử số sẽ là:
\[
(8 - 2x^2) + (-4x^2 - 8x - 8) + (5x^2 + 12x + 4)
\]
Kết hợp các hạng tử lại:
\[
(8 - 8 + 4) + (-2x^2 - 4x^2 + 5x^2) + (-8x + 12x) = 4 - x^2 + 4x
\]

### Bước 7: Biểu thức cuối cùng
Vậy biểu thức đã rút gọn thành:
\[
\frac{x^2 + 4x + 4}{(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

### Kết luận
Cuối cùng ta có:

\[
\frac{(x+2)^2}{(x+2)(2-x)(2+x)} = \frac{x+2}{(2-x)(2+x)}
\]

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn trong việc rút gọn biểu thức!