Tìm x thoả mãn

Để giải phương trình

\[
x + 1 = \sqrt{2(x + 1)} + 2\sqrt{2(x + 1)} + 2\sqrt{4(x + 1)}.
\]

Ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Gọi \( y = \sqrt{x + 1} \), từ đó \( x + 1 = y^2 \) và \( x = y^2 - 1 \).
2. Thay vào phương trình:

\[
y^2 = \sqrt{2y^2} + 2\sqrt{2y^2} + 2\sqrt{4y^2}.
\]

3. Rút gọn các biểu thức bên phải:

\[
y^2 = \sqrt{2}y + 2\sqrt{2}y + 4y.
\]

4. Kết hợp lại biểu thức bên phải:

\[
y^2 = (\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4)y.
\]

5. Tính giá trị của \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4 = 3\sqrt{2} + 4\).

6. Thay vào phương trình ta có:

\[
y^2 = (3\sqrt{2} + 4)y.
\]

7. Giải phương trình bậc hai:

\[
y^2 - (3\sqrt{2} + 4)y = 0.
\]

8. Phân tích được:

\[
y(y - (3\sqrt{2} + 4)) = 0.
\]

9. Từ đó ta có hai nghiệm:

- \( y = 0 \) (không hợp lệ vì \(x + 1\) không âm),
- \( y = 3\sqrt{2} + 4 \).

10. Tính \( x \):

\[
\sqrt{x + 1} = 3\sqrt{2} + 4 \implies x + 1 = (3\sqrt{2} + 4)^2.
\]

11. Tính giá trị \( (3\sqrt{2} + 4)^2 = 18 + 24\sqrt{2} + 16 = 34 + 24\sqrt{2} \).

12. Vậy \( x = 33 + 24\sqrt{2} \).

Do đó, nghiệm cuối cùng là:

\[
x = 34 + 24\sqrt{2} - 1 = 33 + 24\sqrt{2}.
\]

Vậy \( x = 33 + 24\sqrt{2} \) là nghiệm của phương trình.